2024 每日一读‖55 钢琴中的数学之谜

88个黑白交错的琴键，孕育出美妙的音乐；7个八度，音调高低不同；触发一组和弦，振动出不可思议的美妙乐声。钢琴以其广阔的音域与多变的音色被誉为“乐器之王”，感性的美妙乐曲中常常闪耀着理性的数学光辉。那么，钢琴中又蕴藏着哪些数学奥秘呢？

数学与音乐的联系最早可追溯到公元前六世纪，毕达哥拉斯学派发现拨琴弦时产生的声音与琴弦长度的关系，进而提出阶和调音理论，这在西方音乐界占据了统治地位；数学家傅里叶证明出所有器乐和声乐的关系都可以用正弦函数表示；大型钢琴的形状结构也与指数函数密不可分。

“钢琴诗人”肖邦在作曲中很注重乐谱的数学规则、形式和结构，他的夜曲是极具浪漫气质的体裁，悠长细腻，变化丰富，织体复杂。

五线谱是每个钢琴学习者的必经之路，熟练掌握五线谱，才能将看似无序的黑白琴键有序化，将无形的音乐实体化，将前人美妙的乐曲再现。

想要了解五线谱的秘密，首先要认识“中央C”。中央C是小字一组的第一个音，对应的Do位于五线谱上高音谱表的下加一线，也就是低音谱表的上加一线。从中央C划分，高音谱表中小字一组是从Do往上至Si，唱名为1到7，奇数在线上，偶数位于线间；相反，低音谱表中小字组从Do往下的Si，直至低音Do，唱名依次为7到1，奇数在线间，偶数在线上。也就是说，以这条线为中心，五线谱上的音符一字排开、上下对称，向上音阶上行、向下音阶下行。这样就将琴键上的每个位置有序编号，使得五线谱中的每个音符都可以在钢琴上找到对应的琴键。

五线谱将钢琴琴键的位置与音高巧妙地表现在纸张上，并使用数字方法来定义，将无形的音调实体化，使得美妙的乐曲可以穿越时间、空间来到我们面前，甚至可以仅仅通过阅读五线谱来感受音乐的魅力。除此之外，五线谱所展现出来的矛盾与对称美也离不开数学。

相信看过电影《海上钢琴师》的观众都对片中斗琴片段印象深刻——蒂姆·罗斯饰演的男主1900可以在听到对手即兴演奏一遍后完美复刻对方曲目。钢琴师的倾情演绎使人沉醉，那么钢琴又是如何发出时而高亢，时而低沉，高低不同的音调呢？

钢琴拥有6000多个精密部件，巧妙地将弦乐器与打击乐器合二为一。从发声部件来讲，钢琴可归结为弦乐器的一种，由弦槌敲击琴弦而发声。高音区的每个键后面都连着三根弦，中音区的每个键后面都连着两根弦，低音区的每个键后面都连着一根弦。基音的音调与琴弦的振动频率有着函数关系：在一定条件下，基音越高对应的琴弦越短越细，琴弦张力越大。

从钢琴的构造到发声，再到五线谱，优雅美妙的钢琴曲总也离不开数学理论、数学模型与数学逻辑思维。以数学作为支撑，可以更快地理解音律和弦之间的关系，更好地谱写优美的曲目，理解曲目里的深刻感情。数学与音乐是和谐统一的，不应将其割裂，良好的数学素养有益于更完美地演奏钢琴、更深刻地领悟音乐。

来源《科普时报》