10数据结构之排序

一、几种经典排序算法及其时间复杂度级别
冒泡、插入、选择 O(n^2) 基于比较
快排、归并 O(nlogn) 基于比较
计数、基数、桶 O(n) 不基于比较
二、如何分析一个排序算法？
1.学习排序算法的思路？明确原理、掌握实现以及分析性能。
2.如何分析排序算法性能？从执行效率、内存消耗以及稳定性3个方面分析排序算法的性能。
3.执行效率：从以下3个方面来衡量
1）最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度
2）时间复杂度的系数、常数、低阶：排序的数据量比较小时考虑
3）比较次数和交换（或移动）次数
4.内存消耗：通过空间复杂度来衡量。针对排序算法的空间复杂度，引入原地排序的概念，原地排序算法就是指空间复杂度为O(1)的排序算法。
5.稳定性：如果待排序的序列中存在值等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变，就说明这个排序算法时稳定的。
三、冒泡排序
1.排序原理
1）冒泡排序只会操作相邻的两个数据。
2）对相邻两个数据进行比较，看是否满足大小关系要求，若不满足让它俩互换。
3）一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复n次，就完成了n个数据的排序工作。
4）优化：若某次冒泡不存在数据交换，则说明已经达到完全有序，所以终止冒泡。
2.代码实现

        /// <summary>
        /// 冒泡排序
        /// </summary>
        /// <param name="array"></param>
        public static void BubbleSort(int[] array)
        {
            for (int i = 0; i < array.Length - 1; i++)
            {
                for (int j = 0; j < array.Length - 1 - i; j++)
                {
                    if(array[j] > array[j + 1])
                    {
                        int temp = array[j];
                        array[j] = array[j + 1];
                        array[j + 1] = temp;
                    }
                }
            }
        }

3.性能分析
1）执行效率：最小时间复杂度、最大时间复杂度、平均时间复杂度
最小时间复杂度：数据完全有序时，只需进行一次冒泡操作即可，时间复杂度是O(n)。
最大时间复杂度：数据倒序排序时，需要n次冒泡操作，时间复杂度是O(n^2)。
平均时间复杂度：通过有序度和逆序度来分析。
什么是有序度？
有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数，比如[2,4,3,1,5,6]这组数据的有序度就是11，分别是[2,4][2,3][2,5][2,6][4,5][4,6][3,5][3,6][1,5][1,6][5,6]。同理，对于一个倒序数组，比如[6,5,4,3,2,1]，有序度是0；对于一个完全有序的数组，比如[1,2,3,4,5,6]，有序度为n(n-1)/2，也就是15，完全有序的情况称为满有序度。
什么是逆序度？逆序度的定义正好和有序度相反。核心公式：逆序度=满有序度-有序度。
排序过程，就是有序度增加，逆序度减少的过程，最后达到满有序度，就说明排序完成了。
冒泡排序包含两个操作原子，即比较和交换，每交换一次，有序度加1。不管算法如何改进，交换的次数总是确定的，即逆序度。
对于包含n个数据的数组进行冒泡排序，平均交换次数是多少呢？最坏的情况初始有序度为0，所以要进行n(n-1)/2交换。最好情况下，初始状态有序度是n(n-1)/2，就不需要进行交互。我们可以取个中间值n(n-1)/4，来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。
换句话说，平均情况下，需要n*(n-1)/4次交换操作，比较操作可定比交换操作多，而复杂度的上限是O(n^{2)，所以平均情况时间复杂度就是O(n}2)。
以上的分析并不严格，但很实用，这就够了。
2）空间复杂度：每次交换仅需1个临时变量，故空间复杂度为O(1)，是原地排序算法。
3）算法稳定性：如果两个值相等，就不会交换位置，故是稳定排序算法。
四、插入排序
1.算法原理
首先，我们将数组中的数据分为2个区间，即已排序区间和未排序区间。初始已排序区间只有一个元素，就是数组的第一个元素。插入算法的核心思想就是取未排序区间中的元素，在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入，并保证已排序区间中的元素一直有序。重复这个过程，直到未排序中元素为空，算法结束。
2.代码实现

        /// <summary>
        /// 插入排序
        /// </summary>
        /// <param name="array"></param>
        public static void InsertionSort(int[] array)
        {
            if (array.Length <= 1) return;
            for (int i = 1; i < array.Length; i++)
            {
                int value = array[i];     //要插入的数
                int j = i - 1;
                //寻找插入的位置,从有序区间后往前遍历
                for (; j >= 0; j--)
                {
                    if(array[j] > value)
                    {
                        array[j + 1] = array[j];
                    }
                    else
                    {
                        break;
                    }
                }
                array[j + 1] = value;   //插入数据
            }
        }

3.性能分析
1）时间复杂度：最好、最坏、平均情况
如果要排序的数组已经是有序的，我们并不需要搬移任何数据。只需要遍历一遍数组即可，所以时间复杂度是O(n)。如果数组是倒序的，每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据，所以需要移动大量的数据，因此时间复杂度是O(n^{2)。而在一个数组中插入一个元素的平均时间复杂都是O(n)，插入排序需要n次插入，所以平均时间复杂度是O(n}2)。
2）空间复杂度：从上面的代码可以看出，插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间，所以空间复杂度是O(1)，是原地排序算法。
3）算法稳定性：在插入排序中，对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现的元素的后面，这样就保持原有的顺序不变，所以是稳定的。
五、选择排序

1. 选择排序将数组分成已排序区间和未排序区间。初始已排序区间为空。每次从未排序区间中选出最小的元素插入已排序区间的末尾，直到未排序区间为空。
2. 空间复杂度：选择排序是原地排序算法。
3. 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况（都是O(n^2)）
4. 稳定性：选择排序不是稳定的排序算法。
5. 代码实现

        /// <summary>
        /// 选择排序
        /// </summary>
        /// <param name="array"></param>
        public static void SelectSort(int[] array)
        {
            if (array.Length <= 1) return;
            for (int i = 0; i < array.Length; i++)
            {
                int min = i;
                for (int j = array.Length - 1; j > i; j--)
                {
                    if(array[j] < array[min])
                    {
                        min = j;
                    }
                }
                if(min != i)
                {
                    int temp = array[i];
                    array[i] = array[min];
                    array[min] = temp;
                }
            }
        }