换个姿势学数学：飘荡在数学丛林中的幽灵
UX008
在UX007中，我们回顾了历次数系的扩展。
新增的数学概念往往是为了“填坑”，“复数”也不例外。
二次方程：不用填的洞
二次方程的根式通解是 ，几千年前，人们就已经知道了。
而且，我们知道是判别式。
因为当它的时候，会出现“负数开方”的情况，这显然是不可能的，因为“平方”运算的结果永远都是“正数”。
恰好，当判别式的时候，从图像上来看函数和X轴刚好也没有交点。
➣那这里有个洞为什么不填上去?
因为，如果此时发明一个新的概念，计算并不会更简单，反而会更麻烦。
“负数开方”对应“方程无解”，这本身就是非常融洽的。
老卡的通解
三次函数的难题
广义的三次函数都符合此通式 。
在之前的文章中，我们就用 Mathematica 计算过其通解， 最后的计算结果是相当恐怖的。
在这里再放一下，来吓吓你们：
三次方程的解
三次函数的通解几千年都没有进展，很多年以来，人们一直认为这是和“化圆为方”一样的千古难题。
缺项的方程
这玩意儿这么麻烦，所以不是一下子就得出来的。
当遇到一个难啃的骨头，数学家们第一个想到的就是简化。
首先，人们发现了 以及
这两种缺项方程的通解。
一种缺项方程的通解
顺着这条路继续走下去，占星术士老卡居然发现了三次方程的通用解法。
老卡[1]并没有算出上面那个恐怖的式子，只是发明了一种变换，可以把广义三次函数变成有通解的样子，并且给出了三次函数的判别式。
三次函数的判别式
最初的时候大家用着非常爽，直到有一天，某人突然发现不对劲：老卡你丫的是不是搞错了。
老卡的式子错了吗
这个家伙到底是发现了什么秘密呢?
对于， 这种简单的三次函数，我们是很容易就绘制出图像的。可以看到，这个函数有三个零点。
三次函数图像
但是，如果用判别式来求精确解，却发现会产生“复数开方”的问题。
复数开方
那到底该怎么办呢?老卡的式子是对是错?
邦贝利救场
邦贝利尝试先承认的存在，并继续计算下去，发现算出来的结果是对的。
正确的解
但是，这种计算方法揭开了一个黑洞。
之所以没人二次函数的时候就引入，除了没有必要，还因为我们对此一无所知。
这是一种什么样的数？如何与现有的数字兼容?如何进行运算?
一大堆问题在前面等着。
比如，这个式子的计算中，就产生了给再开方的问题。
运算规则是不清晰的，邦贝利只是多次尝试做对了而已。
既然如此难用，在很长的一段时间里，除非迫不得已，没有人会用这个鬼东西。
老卡的吐槽
当时的人们对于的态度如何?
其实从老卡的书中就能看的很清楚
有关复数的一个问题是：把10分为两部分，使其积为40。
用解二次方程的通解，老卡得到两部分为和
。
这个答案的确是对的，但他很困惑，于是写道：“算术就是这样神秘地发展着，这些令人费解的结果真是又精致又不中用”。因此，老卡便停止讨论，不再涉及复数。
老卡值得我们学习的地方就是，他能把“异端”给写在书上。
既然式子已经写出来了，终究会继续发展。
预告：大师登场
其实到此为止，人们都还没有给一个统一的名字，连
这种说法都还没有出现呢。
就像一个暗夜中的幽灵，徘徊在数学之中，若隐若现。
为什么上帝会创造这么一种鬼东西?
神奇的数字遵循什么样的运算规则？
从几何上来看，复数的意义是什么?
对我们有何价值?
笛卡尔、欧拉和高斯[2]将会给我们一个答案。
注释
[1] 1545年，卡尔丹诺在其著作《大术》中给出了通解。
老卡是一个占星术士+江湖游医，数学是业余爱好。作为一名医生，他是成功的，治好了教皇的哮喘，得到了大笔的资助；但是作为一个占星术士，他却是失败的，预言国王长寿，如果没过几年这个国王就挂了。
显然，老卡最成功的领域并不是其主业，而是业余爱好，他对此也是心知肚明的。
《大术》这本书的名字起的就很狂，而且老卡在最后还写到：挥毫五载， 管用千年。
[2] 数学史上的三个大神，个顶个能打，说出来都如雷贯耳。
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作者信息
心如止水：阅读 思考 践行
