时间序列转图像

2020-05-08 本文已影响0人 dingtom

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$X(f,t)$
$Y(f,t)$

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$G^{2}(\omega)$
$G^{2}(\omega)=|H(j \omega)|^{2}=\frac{G_{0}^{2}}{1+(\frac{\omega}{\omega_{c}})^{2 n}}$

$\omega_c$
$G_0$

GASF
$X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$
$\tilde{x}_{i} \in[0,1], \forall 1 \leq i \leq n$

$\phi_{i}=\arccos(\tilde{x}_{i})$
$\tilde{x}_i \in [-1,1]$

$G A S F=[\cos (\phi_{i}) \cdot \cos (\phi_{j}) - \sin (\phi_{i}) \cdot \sin (\phi_{j})]_{n \times n}$

$\tilde{X}=(\cos (\phi_{1}), \cdots, \cos (\phi_{n}))^{T}$

$G A S F=\tilde{X} \cdot \tilde{X}^{T} - \sqrt{I - \tilde{X}^{2}} \cdot \sqrt{I - {(\tilde{X}^{T})}^{2}}$

论文
 pyts
csdn
博客

在极坐标系中，一点是用离中点的距离和角度来定位的：

设 $X = \{x_1, x_2, \dots, x_n \mid x_t \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{N}\}$ 为某些传感器(陀螺仪、测角仪等)的观测。在笛卡尔坐标系中，一个点由一个索引 $t$ 和一个值 $x_t$ 给出。

$(t, x_t)$ 可以通过 $r_t = \sqrt{t^2 + x_t^2}$ 和 $x_t \geq 0$ , $\phi_t = \arccos\left(\frac{t}{r_t}\right)$ ; $x_t < 0$ , $-\phi_t$ 转换到极坐标通过 $\left(r_t\cos(\phi_t), r_t\sin(\phi_t)\right)$ 返回原始坐标。

设 $r_t = 1$ 所有点都在单位圆上。这要求 $t$ 和 $x_t$ 在区间 $[0, 1]$ 或 $[-1, 1]$ 上。 $[0, 1]$ 的好处是函数 $x_t = \sqrt{1 - t^2}$ 和 $t = \sqrt{1 - x_t^2}$ 是单射。

由于神经网络一般不关心一个尺度是 $[1,1]$ 还是 $[0,1]$ ，所以我们选择后者。转换公式为 $\tilde{x}_t = \frac{x_t - \min(X)}{\max(X) - \min(X)}$
极坐标使得使用三角恒等式成为可能
$\cos(\phi_i + \phi_j) = \cos(\phi_i) \cos(\phi_j) - \sin(\phi_i)\sin(\phi_j)$ , $\sin(\phi_i - \phi_j) = \sin(\phi_i)\cos(\phi_j) - \cos(\phi_i)\sin(\phi_j)$

当我们保持 $r_t = 1$ 的假设时，三角函数是简单的 $\cos(\phi_i) = \sqrt{1 - \tilde{x}_i^2}$ , $\sin(\phi_i) = \tilde{x}_i$ ,但是，我们损失了时间t因为我们令 $r_t = 1$ 。因为 $t$ 只是一个索引，这不会影响CNN的性能。

GAFs是2D图，它们显示了某个时间步长到另一个时间步长的行为。例如，我们可以看看 $x_ t$ 在 $t$ 时刻的值比 $t + 1$ 时刻高多少。

论文介绍了以下两个GAFs: $\cos(\phi_i + \phi_j)$ 和 $\sin(\phi_i - \phi_j)$ 对于时间序列中的所有 $i, j$ 。这两个图使用极坐标的方式在上一节中描述过。

让我们看一个简单的例子:一个时间序列包含两个值 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = 2$ 。有4种可能: $x_1 \to x_1$ , $x_1 \to x_2$ , $x_2 \to x_1$ , $x_2 \to x_2$

为了计算GAFs，极坐标是必需的。将 $x_1$ 和 $x_2$ 缩放到 $[0,1]$ 的结果是 $\tilde{x}_1 = 0$ , $\tilde{x}_2 = 1$ 然后根据上面的三角公式，第一个GAF的每一项都由 $\sqrt{1 - \tilde{x}_i^2}\sqrt{1 - \tilde{x}_j^2} - \tilde{x}_i\tilde{x}_j$ 给出
第一GAF是：
$\begin{bmatrix}\cos(\phi_1 + \phi_1) & \cos(\phi_1 + \phi_2)\\\cos(\phi_2 + \phi_1) & \cos(\phi_2 + \phi_2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix} %]]>$

图1:Gramian角场的编码图。X是“Fish”数据集中重新缩放的时间序列序列。我们用公式（3）将X转换成极坐标系，最后用公式（5）和（7）计算其GASF/GADFimages。在本例中，我们在没有PAA平滑的情况下构建gaf，因此gaf都具有高分辨率

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