关于范数的一些基础

2019-02-11 本文已影响0人 ElsonChn

0 范数

范数，是具有“长度”概念的函数。

赋范线性空间：

若 $X$ 是数域上的线性空间，泛函 $||\cdot||:X\rightarrow \mathbb{R}$ 满足：

正定性： $||x||\ge0$ ,且 $||x||=0 \leftrightarrow x=0$ ;

正齐次性: $||cx||=|c|\cdot||x||$ ;

次可加性(三角不等式):<font color=blue> $||x+y||\le||x||+||y||$ </font>。

那么， $||\cdot||$ 称为 $X$ 上的一个范数。

空间范数和矩阵范数

1 空间范数

常用范数--P范数

若 $x=[x_1,X_2,...,x_n]^T$ ,那么
$||x||_p=(|x_1|^p+|x_2|^p+...+|x_n|^p)^{\frac{1}{p}}$
当 $p$ 取1,2， $\infty$ 时，分别为

1-范数： $||x||_1=|x_1|+|x_2|+...|x_n|$

2-范数： $||x||_2=(|x_1|^2+|x_2|^2+...|x_n|^2)^{\frac{1}{2}}$

$\infty$ 范数： $||x||_\infty=max(|x_1|,|x_2|,...|x_n|)$

2 矩阵范数

把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数

1-范数： $||A||_1=max\{\sum|a_{i1}|,\sum|a_{i2}|,...,\sum|a_{in}|\}$ （<font color=blue>列和范数</font>，A的每一列元素绝对值之和的最大值）

2-范数： $||A||_2=$ the max singular value of A $=(max\{\lambda_i(A^H*A)\})^{\frac{1}{2}}$ （<font color=red>谱范数</font>：即 $A^T*A$ 特征值 $\lambda_i$ 中，最大者 $\lambda$ 的平方根）

$\infty$ 范数： $||A||_\infty=max\{\sum|a_{1j}|,\sum|a_{2j}|,...,\sum|a_{nj}|\}$ （<font color=blue>行和范数</font>，A的每一行元素绝对值之和的最大值）

矩阵范数的一些性质

对于任何非零矩阵 $A \not = O$ ,其范数大于零，即 $||A||>0$ ,并且 $||O||=0$ .( $O$ 为零矩阵)
对于任意复数 $c$ 有 $||cA||=|c|||A||$
矩阵范数满足三角不等式 $||A+B|| \le ||A||+||B||$
两个矩阵乘积的范数小于或等于两个矩阵范数的乘积 $||A\cdot B|| \le ||A||\cdot||B||$

非诱导范数

有些矩阵范数<font color=red>不可以由向量范数来诱导</font>，比如常用的Frobenius范数（也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数）：

$||A||_F=(\sum\sum a_{ij}^2)^{\frac{1}{2}}$ --(A全部元素平方和的平方根)

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