从一道物理问题浅谈微积分思想
17世纪中叶，数学史上出现了一件具有划时代意义的重大事件，那就是微积分的诞生。在此之前，人们对于速度这些变量的了解，仅限于平均值的层面。微积分的出现让我们把握了变量的瞬间规律（微分），及瞬间变量的累积效应（积分）。
为了具体了解微积分的思想，我们从一道求解弹簧弹性势能的问题说起。
弹簧拉伸或压缩的时候，弹簧发生形变具有了弹力，也具有了势能，这种势能叫作弹性势能。通过求出拉伸弹簧做的功，可以得到弹性势能的表达式。（下文字母含义：拉力F、弹簧伸长L、劲度系数k）
弹簧在弹性限度（弹簧形变后可恢复原形状）内，弹力与拉伸长度成线性关系：F=kL，如图1。我们想用拉力与弹簧伸长相乘得到拉力做的功，但拉力随着伸长在变。于是，我们把弹簧的伸长分成5个小段，此时的F-L关系如图2。图2中，每个小段起始时的拉力由相应的纵坐标表示，于是每个小段拉力做的功可以用每个小段的矩形面积近似表示。4个小矩形面积之和近似代表整段弹簧伸长后拉力做的功。
当然，上面的做法很粗糙。因为在每个小段中，拉力有明显变化，就是矩形上方三角形的斜边。
图1 图2 图3 为了将结果进一步精确，我们将弹簧伸长段继续细分（图3）。将所有这些小段的做功之和，近似代表整个伸长过程做的总功。从F-L图看出，就是要用更多的但更窄的小矩形的面积之和代表整个过程拉力做的功。
可以想象，如果把整个拉伸过程划分得非常非常细时，很多很多小矩形的面积之和就能准确地表示拉力做的总功了。这时，很多很多小矩形顶端的锯齿状就看不出来了，同时这些小矩形合在一起变成了一个三角形。三角形的面积就代表了弹簧拉伸过程拉力做的功。
可见，通过微分就将复杂的变量累积效应，转化成了求简单的三角形面积。于是得到，弹簧弹性势能就等于1/2kL²。
上面应用到的微积分思想对我们生活有什么启示呢？
1、善于将大任务拆分为小目标。上面求解拉力做功的过程中，拉力是变化、复杂的，面对这个复杂的难题，就需要将拉伸弹簧的过程拆分成很多的小段。同样在生活中，我们把大任务比作大房子，那么达到终极目标的路程就是建造一个大房子的艰难过程。漂亮美观的大房子，是由一块一块砖头垒起来的，那一块块的砖头就是一个个被细化了的小目标。
2、量变到质变是变量累积的效应。你努力学习了一天，但这一天的努力并不会直接变成能力。你的努力，得累积一段时间，才会变成你的能力。就像上面图中的很多很多小矩形，当数量不够时，还有“毛边”，但当累积 到一定数量，就质变成了光滑的曲线。很多很多小矩形也摇身一变，成了一个三角形。因此，想要做点事情，就必须明白：冷板凳坐十年，不断累积进取。
