高考理数各省卷：2011年~2014年解析几何大题

2022-11-23 本文已影响0人易水樵

2011年理数北京卷题19

分值：14分

已知椭圆 $G:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ . 过点 $(m,0)$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的切线 $l$ 交椭圆 $G$ 于 $A,B$ 两点.

（I）求椭圆 $G$ 的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将 $|AB|$ 表示为 $m$ 的函数，并求 $|AB|$ 的最大值.

2011年理数天津卷题18

分值：13分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P(a,b)(a \gt b \gt 0)$ 为动点， $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的左、右焦点. 已知 $\triangle F_1PF_2$ 为等腰三角形.

（I）求椭圆的离心率 $e$ ；

（Ⅱ）设直线 $PF_2$ 与椭圆相交于 $A,B$ 两点， $M$ 是直线 $PF_2$ 上的点，满足 $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} =-2$ ，求点 $M$ 的轨迹方程.·

2011年理数重庆卷题20

分值：本题满分12分. （Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分.

如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，离心率 $e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，一条准线的方程为 $x=2\sqrt{2}$ .

（I）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设动点 $P$ 满足： $\overrightarrow{OP}= \overrightarrow{OM} + 2 \overrightarrow{ON}$ ，其中 $M、N$ 是椭圆上的点，直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率之积为 $-\dfrac{1}{2}$ .

问∶是否存在两个定点 $F_1,F_2$ ，使得 $|PF_1 + PF_2|$ 为定值? 若存在，求 $F_1,F_2$ 的坐标；若不存在，说明理由.

2011年理数重庆卷题20

2011年理数江苏卷题18

分值：16分

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $M、N$ 分别是椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+ \dfrac{y^2}{2} =1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P、A$ 两点，其中点 $P$ 在第一象限，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$ . 连接 $AC$ ，并延长交椭圆于点 $B$ . 设直线 $PA$ 的斜率为 $k$ .

（1）当直线 $PA$ 平分线段 $MN$ 时，求 $k$ 的值；

（2）当 $k=2$ 时，求点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$ ；

（3）对任意的 $k \gt 0$ ，求证： $PA \perp PB$ .

2011年理数江苏卷题18

2011年理数浙江卷题21

分值：15分

已知抛物线 $C_1:x^2=y$ ，圆 $C_2:x^2+(y-4)^2=1$ 的圆心为点 $M$ .

（I）求点 $M$ 到抛物线 $C_1$ 的准线的距离；

（Ⅱ）已知点 $P$ 是抛物线 $C_1$ 上一点（异于原点）. 过点 $P$ 作圆 $C_2$ 的两条切线，交抛物线 $C_1$ 于 $A,B$ 两点. 若过 $M,P$ 两点的直线 $l$ 垂直于直线 $AB$ ，求直线 $l$ 的方程.

2011年理数浙江卷题21

2011年理数山东卷题22

分值：14分

已知动直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 交于 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ 两不同点，且 $\triangle OPQ$ 的面积 $S_{\triangle OPQ}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ . 其中 $O$ 为坐标原点.

（Ⅰ）证明： $x^2_1+x^2_2$ 和 $y^2_1+y^2_2$ 均为定值；

（Ⅱ）设线段 $PQ$ 的中点为 $M$ ，求 $|OM|\cdot |PQ|$ 的最大值；

（Ⅲ）椭圆 $C$ 上是否存在三点 $D,E,G$ ，使得 $S_{\triangle ODE} = S_{\triangle ODG} = S_{\triangle OEG} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$

若存在，判断 $\triangle DEG$ 的形状；若不存在，请说明理由.

2011年理数福建卷题17

分值：13分

已知直线 $l:y=x+m, m \in \mathbf{R}$ .

（I）若以点 $M(2,0)$ 为圆心的圆与直线 $l$ 相切于点 $P$ ，且点 $P$ 在 $y$ 轴上，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线 $l$ 关于 $x$ 轴对称的直线为 $l'$ ，问直线 $l'$ 与抛物线 $C:x^2=4y$ 是否相切? 说明理由.

2011年理数广东卷题19

分值：14分

设圆 $C$ 与两圆 $(x+\sqrt{5})^2+y^2=4, (x-\sqrt{5})^2+y^2=4$ 中的一个内切，另一个外切.

（1）求 $C$ 的圆心轨迹 $L$ 的方程；

（2）已知点 $M(\dfrac{3\sqrt{5}}{5},\dfrac{4\sqrt{5}}{5}),\;F(\sqrt{5},0)$ ，且 $P$ 为 $L$ 上动点，求 $|\,|MP|-|FP|\, |$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标.

2011年理数安徽卷题21

分值：13分
设 $\lambda \gt 0$ ，点 $A$ 的坐标为 $(1,1)$ ，点 $B$ 在抛物线 $y=x^2$ 上运动，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{BQ} =\lambda \overrightarrow{QA}$ ，经过点 $Q$ 与 $x$ 轴垂直的直线交抛物线于点 $M$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{QM} = \lambda \overrightarrow{MP}$ ，求点 $P$ 的轨迹方程.

2011年理数安徽卷题21

2011年理数江西卷题20

分值：13分

$P(x_0,y_0) (x_0 \ne \pm a)$ 是双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt 0, b\gt 0)$ 上一点， $M、N$ 分别是双曲线 $E$ 的左、右顶点，直线 $PM,PN$ 的斜率之积为 $\dfrac{1}{5}$ .

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线 $E$ 的右焦点且斜率为 $1$ 的直线交双曲线于 $A,B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $C$ 为双曲线上一点，满足 $\overrightarrow{OC} =\lambda \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}$ ，求 $\lambda$ 的值.

2011年理数湖南卷题21

分值：13分

如图，椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x$ 轴被曲线 $C_2:y=x^2-b$ 截得的线段长等于 $C_1$ 的长半轴长.

（I）求 $C_1,C_2$ 的方程；

（Ⅱ）设 $C_2$ 与 $y$ 轴的交点为 $M$ ，过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C_2$ 相交于点 $A,B$ ，直线 $MA,MB$ 分别与 $C$ ，相交于点 $D,E$ .

（i）证明： $MD \perp ME$ ；

（ii）记 $\triangle MAB, \triangle MDE$ 的面积分别为 $S_1,S_2$ . 问：是否存在直线 $l$ ，使得 $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{17}{32}$ ?

请说明理由.

2011年理数湖南卷题21

2011年理数湖北卷题20

分值：14分

平面内与两定点 $A_1(-a,0),A_2(a,0)$ 连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_1,A_2$ 两点所成的曲线 $C$ 可以是圆、椭圆或双曲线.

（I）求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系；

（Ⅱ）当 $m=-1$ 时，对应的曲线为 $C_1$ ；对给定的 $m \in (-1,0)\cup(0,+\infty)$ , 对应的曲线为 $C_2$ ，设 $F_1,F_2$ 是 $C_2$ 的两个焦点. 试问：在 $C_1$ 上，是否存在点 $N$ ，使得 $\triangle F_1NF_2$ 的面积 $S=ma^2$ . 若存在，求 $\tan F_1NF_2$ 的值；若不存在，请说明理由.

2011年理数四川卷题21

分值：12分

椭圆有两顶点 $A(-1,0)、B(1,0)$ ，过其焦点 $F(0,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $C、D$ 两点，并与 $x$ 轴交于点 $P$ . 直线 $AC$ 与直线 $BD$ 交于点 $Q$ .

（I）当 $|CD|=\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

（Ⅱ）当点 $P$ 异于 $A、B$ 两点时，求证： $\overrightarrow{OF} \cdot \overrightarrow{OQ}$ 为定值.

2011年理数四川卷题21

2011年理数陕西卷题17

分值：12分

如图，设 $P$ 是圆 $x^2+y^2=25$ 上的动点，点 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影， $M$ 为 $PD$ 上一点，且 $|MD|=\dfrac{4}{5} |PD|$ .

（I）当 $P$ 在圆上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

（Ⅱ）求过点 $(3,0)$ 且斜率为 $\dfrac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的长度.

2011年理数陕西卷题17

2011年理数辽宁卷题20

分值：12分

如图，已知椭圆 $C_1$ 的中心在原点 $O$ ，长轴左、右端点 $M,N$ 在 $x$ 轴上，椭圆 $C_2$ 的短轴为 $MN$ ，且 $C_1,C_2$ 的离心率都为 $e$ ，直线 $l \perp MN$ ， $l$ 与 $C_1$ 交于两点，与 $C_2$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A,B,C,D$ .

（I）设 $e=\dfrac{1}{2}$ ，求 $|BC|$ 与 $|AD|$ 的比值；

（Ⅱ）当 $e$ 变化时，是否存在直线 $l$ ，使得 $BO//AN$ ，并说明理由.

2011年理数辽宁卷题20

2011年理数大纲全国卷题21

分值：12分

已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为椭圆 $C:x^2+\dfrac{y^2}{2}=1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点，过 $F$ 且斜率为 $-\sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A、B$ 两点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{0}$ .

（I）证明：点 $P$ 在 $C$ 上；

（Ⅱ）设点 $P$ 关于点 $O$ 的对称点为 $Q$ ，证明： $A、P、B、Q$ 四点在同一圆上.

2011年理数大纲全国卷题21

2011年理数上海卷题23

分值：18分（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.）

已知平面上的线段 $l$ 及点 $P$ . 任取 $l$ 上一点 $Q$ ，线段 $PQ$ 长度的最小值称为点 $P$ 到线段 $l$ 的距离，记作 $d(P,l)$ .

（1）求点 $P(1,1)$ 到线段 $l:x-y-3=0(3 \leqslant x \leqslant 5)$ 的距离 $d(P,l)$ ；

（2）设 $l$ 是长为 $2$ 的线段，求点的集合 $D=\lbrace P|d(P,l) \leqslant 1 \rbrace$ 所表示的图形面积；

（3）写出到两条线段 $l_1、l_2$ 距离相等的点的集合 $\Omega = \lbrace P| d(P,l_1)=d(P,l_2) \rbrace$ ，其中 $l_1=AB,l_2=CD$ ， $A、B、C、D$ 是下列三组点中的一组.

对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是 ①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.

① $A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0)$ ;

② $A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2)$ ;

③ $A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)$ .

2011年理数上海春季卷题21

分值：14分（第1小题满分4分，第2小题满分10分）

已知抛物线 $F:x^2=4y$ .

（1） $\triangle ABC$ 的三个顶点在抛物线 $F$ 上，记 $\triangle ABC$ 的三边

$AB、BC、CA$ 所在直线的斜率分别为 $k_{_{AB}}、k_{_{BC}}、k_{_{CA}}$ ，若点 $A$ 在坐标原点，求 $k_{_{AB}}-k_{_{BC}}+k_{_{CA}}$ 的值；

（2）请你给出一个以 $P(2,1)$ 为顶点，且其余各顶点均为抛物线 $F$ 上的动点的多边形，写出多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由.

说明∶第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.

2012年理数北京卷题19

分值：14分

已知曲线 $C:(5-m)x^2+(m-2)y^2=8(m \in \mathbf{R})$ .

（Ⅰ）若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，求 $m$ 的取值范围；

（Ⅱ）设 $m=4$ ，曲线 $C$ 与 $y$ 轴的交点为 $A,B$ （点 $A$ 位于点 $B$ 的上方），直线 $y=kx+4$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $M,N$ ，直线 $y=1$ 与直线 $BM$ 交于点 $G$ .

求证： $A,G,N$ 三点共线.

2012年理数天津卷题19

分值：14分

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右顶点分别为 $A,B$ ，点 $P$ 在椭圆上且异于 $A,B$ 两点， $O$ 为坐标原点.

（Ⅰ）若直线 $AP$ 与 $BP$ 的斜率之积为 $-\dfrac{1}{2}$ ，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若 $|AP| = |OA|$ ，证明直线 $OP$ 的斜率 $k$ 满足 $|k| \gt \sqrt{3}$ .

2012年理数重庆卷题20

分值：12分.（I）小问5分，（Ⅱ）小问7分.

如图，设椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ ，线段 $OF_1,OF_2$ 的中点分别为 $B_1,B_2$ ，且 $\triangle AB_1B_2$ 是面积为 $4$ 的直角三角形.

（I）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过 $B_1$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $P,Q$ 两点，使 $PB_2 \perp QB_2$ ，求直线 $l$ 的方程.

2012年理数重庆卷题20

2012年理数江苏卷题19

分值：16分

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ . 已知

点 $(1,e)$ 和 $(e, \dfrac{\sqrt{3}}{2})$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设 $A,B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $AF_1$ 与直线 $BF_2$ 平行， $AF_2$ 与 $BF_1$ 交于点 $P$ ，

（i）若 $AF_1-BF_2 = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$ . 求直线 $AF$ 的斜率；

（ii）求证： $PF_1+PF_2$ 是定值.

2012年理数江苏卷题19

2012年理数浙江卷题21

分值：15分

如图，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 \; (a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$ ，其左焦点到点 $P(2,1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ . 不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，且线段 $AB$ 被直线 $OP$ 平分.

（I）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）求 $\triangle ABP$ 面积取最大值时直线 $l$ 的方程.

2012年理数浙江卷题21

2012年理数安徽卷题20

分值：13分

如图，点 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ 分别是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 的上半部分于点 $P$ ，过点 $F_2$ 作直线 $PF_2$ 的垂线交直线 $x=\dfrac{a^2}{c}$ 于点 $Q$ .

（I）如果点 $Q$ 的坐标是 $(4,4)$ , 求此时椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）证明∶直线 $PQ$ 与椭圆 $C$ 只有一个交点.

2012年理数安徽卷题20

2012年理数江西卷题20

分值：13分

已知三点 $O(0,0),A(-2,1),B(2,1)$ , 曲线 $C$ 上任意一点 $M(x,y)$ 满足 $| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} | = \overrightarrow{OM} \cdot ( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow {OB} ) +2$ .

（1）求曲线 $C$ 的方程；

（2）动点 $Q(x_0,y_0)\;(-2 \lt x_0 \lt 2)$ 在曲线 $C$ 上，曲线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线为 $l$ .

问：是否存在定点 $P(0,t) (t \lt 0)$ ，使得 $l$ 与 $PA,PB$ 都相交，交点分别为 $D,E$ , 且 $\triangle QAB$ 与 $\triangle PDE$ 的面积之比是常数? 若存在，求 $t$ 的值. 若不存在，说明理由.

2012年理数湖南卷题21

分值：13分

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 上的点均在圆 $C_2:(x-5)^2+y^2=9$ 外，且对 $C_1$ 上任意一点 $M$ ， $M$ 到直线 $x=-2$ 的距离等于该点与圆 $C_2$ 上点的距离的最小值.

（I）求曲线 $C_1$ 的方程；

（Ⅱ）设 $P(x_0,y_0) (y_0 \ne \pm 3)$ 为圆 $C_2$ 外一点，过 $P$ 作圆 $C_2$ 的两条切线，分别与曲线 $C_1$ 相交于点 $A,B$ 和 $C,D$ . 证明：当 $P$ 在直线 $x=-4$ 上运动时，四点 $A,B,C,D$ 的纵坐标之积为定值.

2012年理数湖北卷题21

分值：13分

设 $A$ 是单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的任意一点， $l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线， $D$ 是直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|DM| = m |DA| (m \gt 0,$ 且 $m \ne 1)$ . 当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

（I）求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P,Q$ 两点, 其中 $P$ 在第一象限，它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$ ，直线 $QN$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$ . 是否存在 $m$ ，使得对任意的 $k \gt 0$ ，都有 $PQ \perp PH$ ? 若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

2012年理数福建卷题19

分值：13分

如图，椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左焦点为 $F_1$ ，右焦点为 $F_2$ ，离心率 $e=\dfrac{1}{2}$ , 过 $F_1$ 的直线交椭圆于 $A、B$ 两点，且 $\triangle ABF_2$ 的周长为 $8$ .

（I）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设动直线 $l:y=kx+m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$ ，且与直线 $x=4$ 相交于点 $Q$ . 试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$ ，使得以 $PQ$ 为直径的圆恒过点 $M$ ? 若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由.

2012年理数福建卷题19

2012年理数广东卷题20

分值：14分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 (a \gt b \gt 0)$ 的离心率 $e=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ , 且椭圆 $C$ 上的点到点 $Q(0,2)$ 的距离的最大值为 $3$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）在椭圆 $C$ 上，是否存在点M（m，n），使得直线 $l:mx+ny=1$ 与圆 $O:x^2+y^2=1$ 相交于不同的两点 $A、B$ , 且 $\triangle OAB$ 的面积最大? 若存在，求出点 $M$ 的坐标及对应的 $\triangle OAB$ 的面积；若不存在，请说明理由.

2012年理数四川卷题21

分值：12分

如图，动点 $M$ 与两定点 $A(-1,0, B(2,0))$ 构成 $\triangle MAB$ ，且 $\angle MBA =2\angle MAB$ . 设动点M的轨迹为 $C$ .

（I）求轨迹 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $y=-2x+m$ 与 $y$ 轴相交于点 $P$ ，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q、R$ ，且 $|PQ| \lt |PR|$ ，求 $\dfrac{|PR|}{|PQ|}$ 的取值范围.

2012年理数四川卷题21

2012年理数陕西卷题19

分值：12分

已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ , 椭圆 $C_2$ 以 $C_1$ 的长轴为短轴，且与 $C_1$ 有相同的离心率.

（I）求椭圆 $C_2$ 的方程；

（Ⅱ）设 $O$ 为坐标原点，点 $A,B$ 分别在椭圆 $C_1$ 和 $C_2$ 上， $\overrightarrow{OB} = 2 \overrightarrow{OA}$ ，求直线 $AB$ 的方程.

2012年理数辽宁卷题20

分值：12分

如图，椭圆 $C_0: \dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0,a,b$ 为常数 $)$ , 动圆 $C_1:x^2+y^2=t^2_1, b \lt t_1 \lt a$ . 点 $A_1,A_2$ 分别为 $C_0$ 的左，右顶点， $C_1$ 与 $C_0$ 相交于 $A,B,C,D$ 四点.

（I）求直线 $AA_1$ 与直线 $A_2B$ 交点 $M$ 的轨迹方程；

（Ⅱ）设动圆 $C_2:x^2+y^2=t^2_2$ 与 $C_0$ 相交于 $A',B',C',D'$ 四点，其中 $b<t_2<a, t_1 \ne t_2$ , 若矩形 $ABCD$ 与矩形 $A'B'C'D'$ 的面积相等，证明： $t^2_1+t^2_2$ 为定值.

2012年理数辽宁卷题20

2012年理数上海卷题22

分值：16分. 第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知双曲线 $C_1: 2x^2-y^2=1$ .

（1）过 $C_1$ 的左顶点引 $C_1$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 $x$ 轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为 $1$ 的直线 $l$ 交 $C_1$ 于 $P、Q$ 两点.若 $l$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切，求证： $OP \perp OQ$ ；

（3）设椭圆 $C_2∶4x^2+y^2=1$ . 若 $M、N$ 分别是 $C_1、C_2$ 上的动点，且 $OM \perp ON$ ，

求证： $O$ 到直线 $MN$ 的距离是定值.

2012年理数上海春季卷题21

分值：14分. 第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知双曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ .

（1）求与双曲线 $C_1$ 有相同的焦点，且过点 $P(4,\sqrt{3})$ 的双曲线 $C_2$ 的标准方程；

（2）直线 $l:y=x+m$ 分别交双曲线 $C_1$ 的两条渐近线于 $A、B$ 两点.当 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =3$ 时，求实数 $m$ 的值.

2013年理数北京卷题19

分值：14分

已知 $A,B,C$ 是椭圆 $W:\dfrac{x^2}{4} + y^2 =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 上的三个点， $O$ 是坐标原点.

（I）当点 $B$ 是 $W$ 的右顶点，且四边形 $OABC$ 为菱形时，求此菱形的面积；

（Ⅱ）当点 $B$ 不是 $W$ 的顶点时，判断四边形 $OABC$ 是否可能为菱形，并说明理由.

2013年理数天津卷题18

分值：13分

设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 的左焦点为 $F$ ，离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ .

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $C,D$ 两点. 若 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} =8$ ，求 $k$ 的值.

2013年理数安徽卷题18

分值：12分
设椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{1-a^2} =1$ 的焦点在 $x$ 轴上.

（I）若椭圆 $E$ 的焦距为 $1$ ，求椭圆 $E$ 的方程；

（Ⅱ）设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $E$ 的左、右焦点， $P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点，直线 $F_2P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，并且 $F_1Q \perp F_1Q$ . 证明∶当 $a$ 变化时，点 $P$ 在某定直线上.

2013年理数江西卷题20

分值：13分

如图，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 经过点 $P(1,\dfrac{3}{2})$ ，离心率 $e=\dfrac{1}{2}$ . 直线 $l$ 的方程为 $x=4$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2） $AB$ 是经过右焦点 $F$ 的任一弦（不经过点 $P$ ），设直线 $AB$ 与直线 $l$ 相交于点 $M$ ，记 $PA,PB,PM$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3$ . 问：是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $k_1+k_2=\lambda k_3$ ? 若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由.

2013年理数江西卷题20

2013年理数福建卷题18

分值：13分

如图,在正方形 $OABC$ 中, $O$ 为坐标原点, 点 $A$ 的坐标为 $(10,0)$ , 点 $C$ 的坐标为 $(0,10)$ . 分别将线段 $OA$ 和 $AB$ 十等分, 分点分别记为 $A_1,A_2,\cdots,A_9$ 和 $B_1,B_2,\cdots,B_9$ , 连接 $OB_i$ , 过 $A_i$ 作 $x$ 轴的垂线与 $OB_i$ 交于点 $P_i (i \in \mathbf{N}^{*}, 1 \leqslant i \leqslant 9)$

（Ⅰ）求证：点 $P_i (i \in \mathbf{N}^{*}, 1 \leqslant i \leqslant 9)$ 都在同一条抛物线上, 并求该抛物线 $E$ 的方程；

（Ⅱ）过点 $C$ 作直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于不同的两点 $M,N$ , 若 $\triangle OCM$ 与 $\triangle OCN$ 的面积比为 $4:1$ , 求直线 $l$ 的方程.

2013年理数福建卷题18

2013年理数广东卷题20

分值：14分

已知抛物线 $C$ 的顶点为原点, 其焦点 $F(0,c)(c \gt 0)$ 到直线 $l:x-y-2=0$ 的距离为 $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ . 设 $P$ 为直线 $l$ 上的点, 过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA,PB$ , 其中 $A,B$ 为切点.
(1)求抛物线 $C$ 的方程；
(2)当点 $P(x_0,y_0)$ 为直线 $l$ 上的定点时, 求直线 $AB$ 的方程;
(3)当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时,求 $|AF| \cdot |BF|$ 的最小值.

2013年理数湖南卷题21

分值：13分
过抛物线 $E:x^2=2py(p \gt 0)$ 的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_1,k_2$ 的两条不同直线 $l_1,l_2$ , 且 $k_1+k_2=2$ . $l_1$ 与 $E$ 相交于点 $A,B$ , $l_2$ 与 $E$ 相交于点 $C,D$ , 以 $AB,CD$ 为直径的圆 $M$ , 圆 $N$ ( $M,N$ 为圆心) 的公共弦所在直线记为 $l$ .

（Ⅰ）若 $k_1 \gt 0, k_2 \gt 0$ , 证明: $\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FM} \lt 2p^2$

（Ⅱ）若点 $M$ 到直线的距离的最小值为 $\dfrac{7\sqrt{5}}{5}$ , 求抛物线 $E$ 的方程.

2013年理数湖北卷题21

分值：13分

如图, 已知椭圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的中心在坐标原点 $O$ ,长轴均为 $MN$ 且在 $x$ 轴上, 短轴长分别为 $2m,2n(m \gt n)$ ，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_1,C_2$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A,B,C,D$ .

（Ⅰ）记 $\lambda=\dfrac{m}{n}$ . $\triangle BDM$ 和 $\triangle ABN$ 的面积分别为 $S_1$ 和 $S_2$ . 当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时, 若 $S_1=\lambda S_2$ , 求 $\lambda$ 的值;

（Ⅱ）当 $\lambda$ 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 ,使得 $S_1=\lambda S_2$ ? 并说明理由.

2013年理数湖北卷题21

2013年理数四川卷题20

分值：13分
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 的两个焦点分别为 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ , 且圆 $C$ 经过点 $P(\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{3})$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的离心率;
（Ⅱ）设过点 $A(0,2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点, 点 $O$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\dfrac{2}{|AQ|^2} = \dfrac{1}{|AM|^2} + \dfrac{1}{|AN|^2}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程.

2013年理数陕西卷题20

分值：13分

已知动圆过定点 $A(4,0)$ , 且在 $y$ 轴截得弦 $MN$ 的长为 $8$ .

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹 $C$ 的方程；

（Ⅱ）已知点 $B(-1,0)$ ,设不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于不同的两点 $P,Q$ , 若 $x$ 轴是 $\angle PBQ$ 的角平分线, 证明直线 $l$ 过定点.

2013年理数重庆卷题21

分值：12分.（I）小问4分，（Ⅱ）小问8分.

如图，椭圆的中心为原点 $O$ , 长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A,A'$ 两点， $|AA'|=4$ .

（I）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P,P'$ ，过 $P,P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外.若 $PQ \perp P'Q$ , 求圆 $Q$ 的标准方程.

2013年理数重庆卷题21

2013年理数辽宁卷题20

分值：12分

如图, 抛物线 $C_1:x^2=4y, C_2:x^2=-2py(p \gt 0)$ . 点 $M(x_0,y_0)$ 在抛物线 $C_2$ 上, 过 $M$ 作 $C_1$ 的切线, 切点为 $A,B$ ( $M$ 为原点 $O$ 时, $A,B$ 重合于 $O$ ). 当 $x_0=1-\sqrt{2}$ 时, 切线 $MA$ 的斜率为 $-\dfrac{1}{2}$ .
（I）求 $p$ 的值;
（Ⅱ）当 $M$ 在 $C_2$ 上运动时, 求线段 $AB$ 中点 $N$ 的轨迹方程( $A,B$ 重合于 $O$ 时,中点为 $O$ ).

2013年理数辽宁卷题20

2013年理数浙江卷题21

分值：15分

如图, 点 $P(0,-1)$ 是椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 的个顶点, $C_1$ 的长轴是圆 $C_2:x^2+y^2=4$ 的直径. $l_1,l_2$ 是过点 $P$ 且互相垂直的两条直线,其中 $l_1$ 交圆 $C_2$ 于 $A,B$ 两点, $l_2$ 交椭圆 $C_1$ 于另一点 $D$ .

（Ⅰ）求椭圆 $C_1$ 的方程;
（Ⅱ）求 $\triangle ABD$ 面积取最大值时直线 $l_1$ 的方程.

2013年理数浙江卷题21

2013年理数江苏卷题17

分值：14分

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A(0,3)$ , 直线 $l:y=2x-4$ . 设圆 $C$ 的半径为 $1$ ，圆心在 $l$ 上.

（1）若圆心 $C$ 也在直线 $y=x-1$ 上，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，求切线的方程；

（2）若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $MA=2OM$ . 求圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围.

2013年理数江苏卷题17

2013年理数山东卷题22

分值：13分

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_1,F_2$ , 离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , 过 $F_1$ 且垂直于轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $1$ .

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除长轴端点外的任一点, 连接 $PF_1,PF_2$ , 设 $F_1PF_2$ 的角平分线 $PM$ 交 $C$ 的长轴于点 $M(m,0)$ , 求 $m$ 的取值范围;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下, 过点 $P$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ , 使得 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点. 设直线 $PF_1,PF_2$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$ , 若 $k \ne 0$ , 试证明 $\dfrac{1}{kk_1} + \dfrac{1}{kk_2}$ 为定值,并求出这个定值.

2013年理数上海卷题22

分值：16分. 本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3 小题满分8 分。

如图, 已知双曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{2} -y^2=1$ , 曲线 $C_2:|y|=|x|+1$ . $P$ 是平面内一点, 若存在过点 $P$ 的直线与 $C_1,C_2$ 都有公共点 , 则称 $P$ 为“ $C_1 - C_2$ 型点”.

(1)在正确证明 $C_1$ 的左焦点是“ $C_1 - C_2$ 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);

(2)设直线 $y=kx$ 与 $C_2$ 有公共点, 求证 $|k| \gt 1$ , 进而证明原点不是 “ $C_1 - C_2$ 型点”;

(3)求证：圆 $x^2+y^2=\dfrac{1}{2}$ 内的点都不是 “ $C_1 - C_2$ 型点”

2013年理数上海卷题22

2014年理数北京卷题19

分值：14分

已知椭圆 $C∶x^2 + 2y^2=4$ .

（I）求椭圆 $C$ 的离心率；

（Ⅱ）设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $y=2$ 上，且 $OA \perp OB$ ，试判断直线 $AB$ 与圆 $x^2 + y^2=2$ 的位置关系，并证明你的结论.

2014年理数天津卷题18

分值：13分
椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ ; 右顶点为 $A$ , 上顶点为 $B$ . 已知 $|AB| = \dfrac{\sqrt{3}}{2}|F_1F_2|$ .
（I）求椭圆的离心率;
（Ⅱ）设 $P$ 为圆上异于其顶点的一点, 以线段 $PB$ 为直径的圆经过点 $F_1$ , 经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切. 求直线 $l$ 的斜率.

2014年理数安徽卷题19

分值：13分

如图,已知两条抛物线 $E_1:y^2=2p_1x (p_1 \gt 0)$ 和 $E_2:y^2=2p_2x(p_2 \gt 0)$ , 过原点 $O$ 的两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ , $l_1$ 与 $E_1,E_2$ 分别交于 $A_1,A_2$ 两点, $l_2$ 与 $E_1,E_2$ 分别交于 $B_1,B_2$ 两点.

（I）证明: $A_1B_1//A_2B_2$ ;
（Ⅱ）过 $O$ 作直线 $l$ (异于 $l_1,l_2$ ) 与 $E_1,E_2$ 分别交于 $C_1,C_2$ 两点. 记 $\triangle A_1B_1C_1$ 与 $\triangle A_2B_2C_2$ 的面积分别为 $S_1$ 与 $S_2$ , 求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的值.

2014年理数安徽卷题19

2014年理数江西卷题20

分值：13分
如图, 已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的右焦点为 $F$ , 点 $A,B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上, $AF \perp x$ 轴, $AB \perp OB$ , $BF//OA$ ( $O$ 为坐标原点)

(1)求双曲线 $C$ 的方程;
(2)过 $C$ 上一点 $P(x_0,y_0)(y_0 \ne 0)$ 的直线 $l:\dfrac{x_0x}{a^2}- y_0y=1$ 与直线 $AF$ 相交于点 $M$ , 与直线 $x=\dfrac{3}{2}$ 相交于点 $N$ .

证明：当点 $P$ 在 $C$ 上移动时 $\dfrac{|MF|}{|NF|}$ 恒为定值, 并求此定值.

2014年理数江西卷题20

2014年理数福建卷题19

分值：13分

已知双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的两条渐近线分别为 $l_1:y=2x, l_2:y=-2x$ .

（I）求双曲线 $E$ 的离心率；

（Ⅱ）如图, $O$ 为坐标原点, 动直线 $l$ 分别交直线 $l_1,l_2$ 于 $A,B$ 两点( $A,B$ 分别在第一、四象限),且 $\triangle OAB$ 的面积恒为 $8$ . 试探究：是否存在总与直线 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 $E$ ? 若存在, 求出双曲线 $E$ 的方程；若不存在, 说明理由.

2014年理数福建卷题19

方程与曲线：2014年理科数学广东卷题20

分值：14分

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5},0)$ ，离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$

（1）求椭圆 $C$ 的标准方程;

（2）若动点 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆 $C$ 外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

2014年理数湖南卷题21

分值：13分

如图, $O$ 为坐标原点, 椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ , 离心率为 $e_1$ ；双曲线 $C_2:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_3,F_4$ , 离心率为 $e_2$ . 已知 $e_1e_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 且 $|F_2F_4|=\sqrt{3}-1$ .
（I）求 $C_1,C_2$ 的方程;
（Ⅱ）过 $F_1$ 作 $C_1$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $AB$ , $M$ 为 $AB$ 的中点. 当直线 $OM$ 与 $C_2$ 交于 $P,Q$ , 两点时, 求四边形 $APBQ$ 面积的最小值.

2014年理数湖南卷题21

2014年理数湖北卷题21

分值：14分
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $M$ 到点 $F(1,0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多 $1$ .记点 $M$ 的轨迹为 $C$ .
（I）求轨迹 $C$ 的方程;
（Ⅱ）斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $P(-2,1)$ ，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.

2014年理数重庆卷题21

分值：12分. （I）小问5 分,（I）小问7分.

如图, 设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ , 点 $D$ 在椭圆上, $DF_1 \perp F_1F_2, \dfrac{DF_1}{F_1F_2}= 2 \sqrt{2}$ , $\triangle DF_1F_2$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

（I）求圆的标准方程:
（Ⅱ）设圆心在 $y$ 轴上的圆与椭圆在 $x$ 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点, 求圆的半径.

2014年理数重庆卷题21

2014年理数四川卷题20

分值：13分
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的焦距为 $4$ , 其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（I）求椭圆 $C$ 的标准方程:
（Ⅱ）设 $F$ 为圆 $C$ 的左焦点, $T$ 为直线 $x=-3$ 上任意一点, 过 $F$ 作 $TF$ 的垂线交圆 $C$ 于点 $P,Q$

（i）证明： $OT$ 平分线段 $PO$ (其中 $O$ 为坐标原点);
（ii）当 $PQ$ 最小时, 求点 $T$ 的坐标.

2014年理数陕西卷题20

分值：13分
如图, 曲线C由上半椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0, y \geqslant 0)$ 和部分抛物线 $C_2:y = -x^2+1 \;(y \leqslant 0)$ 连接而成, $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点为 $A,B$ , 其中 $C_1$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

（I）求 $a,b$ 的值;

（Ⅱ）过点 $B$ 的直线 $l$ 与 $C_1,C_2$ 分别交于点 $P,Q$ (均异于点 $A,B$ ), 若 $AP \perp AQ$ , 求直线 $l$ 的方程.

2014年理数陕西卷题20

2014年理数辽宁卷题20

分值：12分

圆 $x^2+y^2=4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴, $y$ 轴正半轴围成一个三角形, 当该三角形面积最小时,切点为 $P$ (如图). 双曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 过点 $P$ 且离心率为 $\sqrt{3}$ .

（I）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）椭圆 $C_2$ 过点 $P$ 且与 $C_1$ 有相同的焦点, 直线 $l$ 过 $C_2$ 的右焦点且与 $C_2$ 交于 $A,B$ 两点, 若以线段 $AB$ 为直径的圆过点 $P$ , 求 $l$ 的方程.

2014年理数辽宁卷题20

2014年理数浙江卷题21

分值：15分

如图,设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ , 动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 只有一个公共点 $P$ , 且点 $P$ 在第一象限

（I）已知直线 $l$ 的斜率为 $k$ , 用 $a,b,k$ 表示点 $P$ 的坐标；

（Ⅱ）若过原点 $O$ 的直线 $l_1$ 与 $l$ 垂直, 证明：点 $P$ 到直线 $l_1$ 的距离的最大值为 $a-b$ .

2014年理数浙江卷题21

2014年理数江苏卷题17

分值：14分

如图, 在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点,顶点 $B$ 的坐标为 $(0,b)$ , 连接 $BF_2$ 并延长交椭圆于点 $A$ , 过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交圆于另一点 $C$ , 连接 $F_1C$ .

（1）若点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3})$ , 且 $BF_2=\sqrt{2}$ , 求椭圆的方程;
（2）若 $F_1C \perp AB$ , 求椭圆离心率 $e$ 的值.

2014年理数江苏卷题17

2014年理数山东卷题21

分值：14分

已知抛物线 $C: y=2px(p \gt 0)$ 的焦点为 $F$ , $A$ 为 $C$ 上异于原点的任意一点, 过点 $A$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ , 交 $x$ 轴的正半轴于点 $D$ , 且有 $|FA| = |FD|$ . 当点 $A$ 的横坐标为 $3$ 时, $\triangle ADF$ 为正三角形.

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ）若直线 $l_1//l$ , 且和 $C$ 有且只有一个公共点 $E$ .

（i）证明直线 $AE$ 过定点,并求出定点坐标

（ii） $\triangle ABE$ 的面积是否存在最小值? 若存在，请求出最小值; 若不存在, 请说明理由.

2014年理数上海卷题22

分值：16分.本题共有 3个小题,第1小题满分3 分,第2小题满分5分,第3 小题满分8分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 对于直线 $l:ax +by +c =0$ 和点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ , 记 $\eta =(a x_1 + b y_1 +c)(a x_2 + b y_2 +c)$ . 若 $\eta \lt 0$ , 则称点 $P_1,P_2$ 被直线 $l$ 分隔. 若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点, 且曲线 $C$ 上存在点 $P_1,P_2$ 被直线 $l$ 分隔, 则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线.

(1)求证: 点 $A(1,2),B(-1,0)$ 被直线 $x+y-1=0$ 分隔;
(2)若直线 $y=kx$ 是曲线 $x^2-4y^2=1$ 的分隔线, 求实数 $k$ 的取值范围
(3)动点 $M$ 到点 $Q (0,2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 $1$ , 设点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ . 求证: 通过原点的直线中,有且仅有一条直线是 $E$ 的分隔线.

高考理数各省卷：2011年~2014年解析几何大题

2011年理数北京卷题19

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2012年理数湖北卷题21

2012年理数福建卷题19

2012年理数广东卷题20

2012年理数四川卷题21

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2012年理数辽宁卷题20

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