数学大厦的基石——公理化

在数学科学的理论体系中，有些不定义的概念(原词)和不证明的命题(公理)，正是从这些原词和公理出发堆起了庞大的体系。比如数学中的"集合"、“点”、“线”、“面”等都是原词。“点”没有大小，无限可分；但其严格的定义无法给出，很难说清楚点究竟是什么？同样构成公理体系的公理，也没有证明；却被用作其他命题证明的逻辑基础。比如公理：两点决定一条直线。

基于不同的研究对象、讨论范畴，数学发展出了不同的公理体系：几何公理体系发展早期是欧几里得的古典公理办法，直到20世纪由德国数学家希尔伯特提出一个比较完善的公理体系(希尔伯特公理体系)；以皮亚诺命名的自然数公理体系；排除罗素悖论，解决第三次数学危机而产生的集合论公理系统等等。

在公理化的浪潮中，出现了线性空间的公理化体系，在这样的公理系统中，很多的范畴对象都具有线性空间的共性，于是讨论它们的思路统一为：基——坐标——维数——同构。再在线性空间的基础上，通过用公理化的方法定义内积，引入欧氏空间。

在19世纪末到20世纪初，由于解代数方程而引进的域及群的概念，逐步产生了抽象群的概念：一个带有运算的非空集合及四条公理组成，即封闭性、运算满足结合律、有单位元素及逆元素存在。

基于1914年至1922年间拓扑空间得到公理化，泛函分析中的希尔伯特空间、巴拿赫空间也随之完成公理化，成为基础数学研究的出发点。

20世纪初受物理学的刺激，更多人开始关注随机过程，比如柯尔莫哥洛夫、马尔科夫等人；以及20世纪初完成了勒贝格测度与积分理论及后续发展出抽象测度和积分理论，成为概率公理体系建立的基石。

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