欧拉是怎么发现平方倒数级数公式的

2018-09-23 本文已影响28人 whzecomjm

欧拉是一位多产的数学家，其学术著作约有60-80册，发表论文800多篇，内容极其丰富，对近现代数学产生了极大的影响。之前有一个网站 eulerarchive.org 最近好像挂了，不过我发现 MAA 有更全面的主页： The Euler Archive 。上面有不少欧拉的历史以及原著（包括一些翻译版），有兴趣可以去看看。之前我也花了一些时间去看了一些欧拉微积分和数论方向的文章（比如读读欧拉系列），发现很适合刚上大学甚至高中生去读。

下面我讲一下贝塞尔问题的解决过程吧（也就是平方倒数级数公式）。其实学过高数的人都应该知道欧拉当初是怎么证明的，虽然不算是十分严格，但是非常精巧。可是他是怎么发现这个公式等于 $\pi^2/6$ 的呢？

首先，欧拉从几何级数的等式出发 $1+x+ x^2 +\cdots + x^{n-1} = \frac{1-x^n}{1-x}$ 然后两边取不定积分，得到 $x+ \frac{x^2}{2} +\cdots + \frac{x^n}{n} = \int\frac{1-x^n}{1-x}dx$

注意，左边 $x$ 取 $1$ 的话就是调和级数的前n项（n-partial sum），它等于右边取从0到1的定积分（瑕积分）。由于左右的相等，可以定义类似于 n=1/2-partial sum 的非整数部分和，对于这个例子：

$\int_{0}^1 \frac{1-\sqrt{x}}{1-x}dx =\int_{0}^1 \frac{1}{1+\sqrt x}dx =2-2\ln 2$

现在，我们已经通过积分已经把几何级数和调和级数联系起来了。欧拉尝试继续积分，左边得到

$\frac{x^2}{1\cdot 2} + \frac{x^3}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{x^{n+1}}{n\cdot(n+1)}$
此时，分母还不是我们想要的结果（我们想要得到平方项），欧拉敏锐地发现只要在积分前除以x即可。

$\int\frac{1}{x} \left(x +\frac{x^2}{2} + \cdots+\frac{x^n}{n} \right)dx = x+ \frac{x^2 }{2^2} + \frac{x^3}{3^2} + \cdots+\frac{x^n}{n^2}$
故，我们有

$\int^1_0 \frac{1}{x} \left(\int_0^x \frac{1-y^n} {1-y}dy\right) dx = 1+\frac{1}{4}+\cdots + \frac{1}{n^2}$

当 n 趋于无穷大时，我们就可以从左边的式子估计平方倒数级数。接下来才是欧拉真正厉害之处，他的算数功底就不提了，相传他双目失明以后，所有的计算都是大脑中进行的。欧拉之所以是欧拉，当他看到左边的积分后，用数值估计的方法算出来大约是 1.644924...

这看起来有些不可思议，但是事实就是如此。而且得到的这个数字可能对于大多数人来说都是无意义的，但是欧拉一眼就看出来是 $\pi^2 / 6$ . 当他得到这个结果以后，之后的补证大家都比较清楚了。

转自我的知乎回答。

欧拉是怎么发现平方倒数级数公式的

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