习题六

2019-10-16 本文已影响0人洛玖言

习题六

1

2

求 $3^{400}$ (十进制表示中) 的末两位数码.

Sol:
要求末两位数码，对 $3^{400}$ 模100即可
易知 $(3^{10},100)=1$ ，又 $\varphi(100)=40$ ，由欧拉定理知
$(3^{10})^{40}\equiv1\pmod{100}$
所以 $3^{400}$ 的末两位数码为 01.

4

设 $m,n$ 为正整数， $(m,n)=1$ . 证明：
$m^{\varphi(n)}+n^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{mn}$

Sol:
由欧拉定理有：
$m^{\varphi(n)}\equiv1\pmod{n}$
得
$m^{\varphi(n)}+n^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{n}$
$n^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}$
得
$m^{\varphi(n)}+n^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}$
所以有 $m^{\varphi(n)}+n^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{mn}$

5

设 $(a,10)=1$ 证明： $a^{20}\equiv1\pmod{100}$

Sol:
因为 $(a,10)=1$ ，所以有 $(a,4)=1,\,(a,25)=1$
且 $\varphi(4)=2,\,\varphi(25)=20$
由欧拉定理有
$a^2\equiv1\pmod{4}$
$a^{20}\equiv1\pmod{25}$
得
$a^{20}\equiv1\pmod{4}$
又 $(4,25)=1,\,[4,25]=100$
所以有 $a^{20}\equiv1\pmod{100}$

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