常微分方程2

2020-06-09 本文已影响0人夏羽兮

一阶微分方程的解法：

（一）变量分离方程与变量变换

1.1形如 $\frac{dy}{dx} =f(x)\varphi (x)$ 的方程，称为变量分离方程，这里 $f(x)$ , $\varphi (y)$ 分别是 $x$ , $y$ 的连续函数。

（1）如果 $\varphi （y）≠0$ ,则 $\frac{dy}{\varphi(y)} =f(x)dx$ ,两边进行积分，得到 $\int_{}^{} \frac{dy}{\varphi (y)} =\int_{}^{} f(x)dx+c$ .

（2）如果 $\varphi （y）=0$ ,但如果存在 $y_{0}$ 使 $\varphi （y_{0} ）=0$ ,则直接验证 $y=y_{0}$ 也是方程的解。

例1

1.2可化为变量分离类型的方程

形如 $\frac{dy}{dx} =g(\frac{y}{x} )$ 的方程，称为齐次线性微分方程，这里 $g(u)$ 是 $u$ 的连续函数。

作变量变换 $u=\frac{y}{x}$ ，即 $y=ux$

于是 $\frac{dy}{dx} =x\frac{du}{dx} +u$

代入原方程，则方程变为 $x\frac{du}{dx} +u=g(u)$

整理后得， $\frac{du}{dx} =\frac{g (u)-u}{x}$ ，是一个变量分离方程

代回原变量，即为方程的解。

例2

形如 $\frac{dy}{dx} =\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1} }{a_{2}x+b_{2}y+c_{2} }$ 的方程也可经变量变换化为变量分离方程，这里 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ , $c_{1}$ , $c_{2}$ 均为常数。

分3种情形讨论：

（1) $\frac{a_{1} }{a_{2} } =\frac{b_{1} }{b_{2} } =\frac{c_{1} }{c_{2} } =k$ (常数)情形。

这时方程化为 $\frac{dy}{dx} =k$ ，有通解 $y=kx+c$ ，其中 $c$ 为任意常数。

（2) $\frac{a_{1} }{a_{2} } =\frac{b_{1} }{b_{2} } =k\neq \frac{c_{1} }{c_{2} }$ 情形。

令 $u=a_{2}x+b_{2} y$ ，这时有 $\frac{du}{dx} =a_{2} +b_{2} \frac{dy}{dx} =a_{2} +b_{2} \frac{ku+c_{1} }{u+c_{2} }$ 是变量分离方程。

（3） $\frac{a_{1} }{a_{2} } \neq \frac{b_{1} }{b_{2} }$ 情形。

令 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1} =0$ 且 $a_{2} x+b_{2} y+c_{2} =0$ ，可得两直线的交点 $（\alpha ，\beta ）$

再令 $X=x-\alpha$ 且 $Y=y-\beta$

则上式化为 $a_{1} X+b_{1} Y=0$ 且 $a_{2} X+b_{2} Y=0$

从而原方程变为 $\frac{dY}{dX} =\frac{a_{1}X+b_{1}Y }{a_{2}X+b_{2}Y } =g(\frac{Y}{X} )$

求解上述变量分离方程，代回原变量可得原方程的解。

（注：若方程中 $c_{1} =c_{2} =0$ ，直接取变换 $u=\frac{y}{x}$ 即可）

例3

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