立体几何的探究
在数学学习中，当我们将二维视野拓展到三维视野后，会产生出许多要学习的立体图形。如果要精确研究，就离不开对其进行定量描述。毋庸置疑，除了对其浪漫的感知外，就是求得立体图形的表面积和体积。今天，我们就举几个例子来展示。
第一个出场的就是棱柱。以最典型的正棱柱为例，其实我们很好判断其表面积和体机怎么算。没错，在一个空间中，将底面积乘高就可以得到体积，而将单个侧面的面积乘面数再加上相同的上下地面，便是表面积。
第二个出场的就是棱锥。棱锥可以看作是一种特殊的棱锥，其上底面面积为0。以正棱锥为例，其实表面积仍然很好求得，仍然是底面积加上单个侧面面积乘侧面面数。在这其中涉及到的三角形面积计算可以用我们新学的”解三角形”方法，以相邻的两条边及其夹角的sin值互乘便可以得到了。那么棱锥的体积该如何求得呢？既然是一种特殊的棱柱，我们能不能从棱柱入手？其实可以。细心观察就会发现一个棱柱可以通过切割形成棱锥，而根据祖庚原理可以得到当一个棱柱/棱锥上下底面面积相同且高度相同时，那么体积也就相同。于是，我们便可以设计一个模型，将一个正三棱柱沿一底面边切至另一个底面的角，得到一个斜棱锥。再将切割为四棱锥的多面体沿底面一边切至另一底面的角，得到两个三棱锥。这样之后，我们惊奇的发现三个棱锥的体积居然都是相等的，因为其高和底面面积都能通过不同的角度而证明相等。于是，这样一来我们便可以得到棱柱的体积推算方法，也就是其底面积乘高乘以1/3。对于高的推算，也可以使用特殊三角形解法，在横截面上使用。
将来第三个出场的就是棱台。以正棱台为例，棱台的表面积当然是上下底面相加，在加上侧面梯形的面积乘4。那么其体积怎么算？咋一看很难，但我们可以通过大棱锥减小棱锥的方式得到。但是在这里我们需要用横截面的相似三角形用上底面的数据来表示无形棱锥的高度。通过比值可以得到是上底面边长乘棱台之高除以上下底面边长之差。如此通过列式便可以得到1/3乘棱台高度乘“上下底面面积与其乘积之二次根的和”。通过这样的推导我们便可以轻而易举的得出棱台的体积。而在这个公式里，我们也可以回顾两个数的三次方之差的转换。其实三次方之差的转换就是两个多面体体积相减的部分，表示为a3-b3=（a-b）（a2+b2+ab）。a-b其实就是我们要求的高，而a2+b2+ab就是我刚唉提到的“上下底面面积与其乘积之二次根的和”。只不过最后的1/3体现在这是棱台的体积计算，不是方体。
好，现在我们已经得出了有关方体类立体图形的探究，那么我们该如何探究有关圆形和球形的立体图形呢？
第一个出场的便是圆柱。其实，圆柱的属性我们在六年级时就已经探究过，因为其与平面图形～圆，有着密不可分的关系。很显然，我们可以将其类比为一个圆沿垂直方向平移之后的轨迹。根据圆面积的表示方式兀r2，如果一个圆柱的高是h，可以很轻松的得出圆柱的表面积和体积，分别为2兀方+2兀方h以及兀r方h。
接下来第二个出场的便是圆锥。从二维至三维的平移角度，圆锥是一个等腰三角形或者直角三角形绕着垂线/一个直角边平移形成的。如果从包围角度，圆锥可以看作是一个底圆和一个扇形构成的。如此，我们便可以凭借这个思路得出圆锥的表面积表示方法，如果一个圆锥的高是h，母线为l，表面积就等于兀r方+兀r方l。到这里我惊奇地发现绝对的表面积居然和同高圆柱的表面积成一比二的关系，这是为什么？这仍然是一个就给我们自我探究的问题。那么我们该如何表示圆锥的体积呢？之前，我们凭借祖堩原理明晰了同高的棱柱体积和棱锥体积的关系，为3:1的关系。所以，类比棱柱和棱锥的关系，可以得到圆锥的体积也是同高同底圆柱的三分之一。所以圆锥的体积表示方式就是1/3兀r方h。
接下来第四个出场的就是圆台。圆台的表面积很好得到，其侧面展开图类似一个梯形，可以（上底+下底）✖️高除以2的形式算出来，再加上上下底面两个圆的面积就是表面积。于是最终，圆台表面积就是[π l(R+r)]*[(R²+r²)π]。如果要求得圆台的体积其实我们仍然可以类比棱台，也就是1/3* π * h (R2+Rr+r2）。通过类比还是可以很好地得到两者的联系的。
接下来第四个出场的就是球体。球体固然与圆离不开关系，那么我们能否凭借圆的属性求的球体的表面积和体机呢？也是可以的。根据祖堩原理可以得知在两个平行平面之间所夹的两个多面体，在以平行于已有平面的平面所切的任意横截面相等，则这两个多面体的体积也就相等。所以我们选择了一个等高的半球体和一个圆锥镂空的圆柱体。随后发现两者的中心截面积是相等的！所以我们便可以得出半球体的体积就是同高同截面圆柱体的2/3，也就是2/3πr²h=2/3πR³。有了半球体的体积公式，就可以得出球体的体积公式，×2可以得到4/3πR³。那么球体的表面积该怎么算？以球心为顶点，在球的表面上画出几个方格，方格与球心连接，并可以形成无数个棱锥。这些棱锥的下底面相加就是球体的表面积，所以我们可以以4/3πR³➗R/3（R的1/3源自于其本身的体积公式）得出球体的表面积4πR²。
可见，立体图形的探究与平面探究完全不同。三维的新视野可能会使我们不适应，但是，一个新的空间可以给予我们更多的感知和体验，丰富我们的逻辑思维和想象力。同时在探究过程中，能够清晰地发现对于难以解析的立体几何因素，我们总会找到对应的形式来解释我们想要求得的结果。这无疑是一种极为奇妙和精密的数学语言，令我震撼。这不仅可以运用于以后的数学学习，同时可以应用于生活，去解决更多实际问题。这也是我们作为人应当得到的技能。
