群的概念

2024-07-01 本文已影响0人东方胖

代数结构中的群，环，域的概念大多是从具体案例中提炼的。

群类比整数集，半群大概是自然数集。也许因为自然数好像正好是整数集的一半，因此称为半群。

而有理数被抽象成域，整数集合将乘法考虑进去，叫做环。

为什么要把常见的数集抽象成群，环，域？

群是最基础的代数机构之一。
如果一个集合 S，赋予一个二元合成运算 $\oplus$ 。二元合成即指 $a \oplus b$ 可以用变成一个新的元素
$c = a \oplus b$
这个合成运算满足

$a \oplus b \in S, a \in S, b\in S$ （封闭性）经过合成后，新创造的元素不会跑出原来的集合 $S$
$a, b, c 都是S中的元素 , 它们满足 (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$ 即合成运算满足结合律
以上两条的原型是赋予加法的自然数集 $\mathbb{N}$
满足以上两条的 $S$ 在运算 $\oplus$ 下构成一个半群
补充所谓的逆元和单位元（有的地方也称之为单位元）, 就是一个群
存在单位元 $e \in S$ , 如果任意的 $a \in S$ 满足 $a \oplus e = e \oplus a$
逆元. 存在 $a^{-1} \in S$ 使得 $a \oplus a^{-1} = a^{-1}\oplus a = e$

对于半群 $\mathbb{N}$ 0 是单位元，但是没有逆元。
有单位元的半群也有专有名称，叫做幺半群
要使 $\mathbb{N}$ 有逆元则需要把数集扩充到整个整数集合 $\mathbb{Z}$ 在通常的加法运算下 $\mathbb{Z}$ 是一个群，0 是保合成运算不变的单位元，每个数的逆元就是它对应的负数。

对于整数的乘法，由于一般的 $a \in \mathbb{Z}$ 它的倒数并非在整数内，这说明乘法的逆运算——取倒数，有一种新特性，即它会扩充数系，把原来的整数集合扩充到新的数系
所以 $\mathbb{Z}$ 在运算 $\times$ 下没有构成群，它是一个半群。

加法会不会扩充数系 —— 不会
乘法会不会扩充数系——不会
它们都有通常意义上的封闭性
运算的本质，就是一种变换，从此到彼的变化
减法会扩充数系，如 1 - 2 无法再维持封闭性
除法也是，在整数上的除法，有时候不再保持在整数内

群的定义暗示了，逆运算，实际上有两种运算在里面？并且它需要逆运算也封闭

但逆运算不是合成运算，这意味着逆更容易还原
比方说 $a^{-1} = -a = 5, a \in \mathbb{N}$ , 那么可以把a还原出来，它就是 -5
合成运算的还原难度非常大如果 $x + y = 10, x, y \in \mathbb{Z}$
x 和y的信息彻底被模糊了。因为有无数对 (x, y) 满足它们的合成是 10

群深刻的对称性隐藏在第四条，即任何元素都有关于单位元的对称元素，单位元好比是一个中心点

仔细思量，群的第一条实际上是为了叙述第四条准备的，因为要保证对称元素存在，先要有单位元——即对称中心，对象的状态抽象为集合 $S$ 那么元素的合成可以看成两个状态的合成，如果合成不封闭，则很难去刻画元素和元素逆的合成。

为什么要有结合律？
可能得一个理由——结合律的约定，导致群对于其武装的运算可以实施连乘
$a, b, c 都是S中的元素 , (a \oplus b) \oplus c \ne a \oplus (b \oplus c)$ 会怎么样？

群的概念

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