可积性(integrability)

可积性(integrability)

理论物理有两方面，一是构建理论模型，写下系统满足的方程。比如牛顿的力学方程，爱因斯坦的引力方程，麦克斯韦方程，薛定谔方程。理论的构建从根本推动了物理的发展，每一个方程都是物理历史上的里程碑。为了表达对这些理论构造的天才的敬意，方程都冠上了他们的名字。

理论物理另外一个方面是对理论方程的求解。这一方面经常被忽略，因为对方程的求解是一个数学问题。还有一种态度是，对理论方程的具体求解是应用物理，是下一级的学科了。这也可以理解，理论的构建都是建立在一些基本的假设而不是特定的具体环境之下。比如牛顿的力学 F=ma ：力和加速度成正比。这个方程并没有具体这个力是什么样的，怎样在不同时间不同地点变换都不重要。不同情况的力对应了这个理论下不同的模型。再一般考虑一些简单的模型比如力是0，或者力是恒定的，然后求解这个简单模型的方程来理解这个理论本身的一般性质。对于更复杂的模型，方程会复杂到几乎不能求解，但是我们已经有了足够的物理自觉和对理论的足够自信从而可以知道复杂系统的大致的变化规律，至少可以知道在很短时间内系统变化的规律，因为在很短时间内，力是可以近似为恒力的，再利用计算机数值的近似方法的，就可以累积出长时间的变化了，只不过需要计算机强大的计算能力罢了，但是理论上是可以做到的。理论的逻辑是，所有理论的解都是可以在自然界发生的。当在自然中观察到某些现象时，我们可以去用对应的理论的解去解释。但是反过来，我们也可以先求出方程的解，然后在设法去自然界中观察。有些解是与从简单例子得到的直觉相悖的，这样的解就会让我们刷新对理论的理解升级我们的自觉，比如黑洞的解，比如纠缠态的解。这中类型的解也往往被冠与发现者的名字来表达敬意。真正可以精确解析求解的模型是很少见的。这些模型就是课本上的教学例子，但是有时候这些例子给人一种求解很简单的假象。可积性和理论模型的可解性有关。可积性的定义很广义也很含糊。

什么是可积性呢？

1. 是某些理论物理模型的其他性质。
2. 在理论上还有实际上，使对理论模型的求解更加可行。
3. 通常可以被用来把物理问题转化为数学上复函分析问题。
4. 可以让我们精确解析求解一些物理量，而不是近似和数值的。
5. 是一种隐藏的对称，从而限制系统的解。
6. 说明系统的非混沌的
7. 是很多领域还有数学技巧在物理上应用的杂糅。
8. 很多乐趣。

可积性承诺了一些模型求解的方法，但是对于具体的模型，首先得证明可积性，这个还没有程式化的方法。即使证明了可积性，如何利用可积性也不是很直接。也不确定可积性可以求解你想要的物理量。即使你发现可以用可积性了，过程也不是那么直接，还是需要一些工作量。大多数的情况下是，把解偏微分的分析问题转化成代数问题。可积性是一个发动条件很苛刻的但是只是可能管用的咒语。

什么理论模型是可积？

1. 一些经典力学的模型：自由粒子，谐振子，开普勒问题，一些陀螺，wiki上只有9种其实。
2. 一些量子模型，上述的量子化后的模型。
3. 一些2维时空的经典场论：描述水波的KdV，描述涡旋的sine-Gordon, 二维引力，标量场sigma模型，经典的磁铁，一写背景下的弦论。很多情况下，量子化的这些场论也是可积的，但是有的时候量子化会破缺可积性。
4. 一些2维的统计学模型。主要是一些晶格(lattice)理论，6-vertex,8-vertex,Ising model。。。
5. 4维的自对偶规范场理论。
6. 4维的具有最大超对称的规范对称群很大极限的规范场理论。还有弦论在AdS_5\times S^5 背景的AdS/CFT对应的共形场论。

目前我觉得最容易入门的材料是Beisert教授在ETH Zurich的讲义"Introduction to Integrability"。

一些笔记

最容易理解的是可积概念是经典力学中刘维尔可积性。是说系统具有足够多的守恒量。每一个守恒量都是对系统的一个限制，所以守恒量越多，限制也越强，解的空间也越小，也容易找到。当一个系统有2n(n个正则坐标，n个正则动量)个自由度的时候，如果他具有n个独立的守恒量，那么就可以做正则变化用这n个守恒量作为正则动量，然后正则坐标随时间的演化都是线性的。我们需要做的工作就是，做正则变化，这涉及到一些代数操作还有一些定积分。当然我们要首先找到守恒量，找守恒量没有直接的方法：

1. 在一些猜想下不断的试错
2. 利用诺特原理：连续的对称性对应守恒量。
3. 其他的守恒量对应了系统的隐对称。所以找守恒量的过程就相当于找到所有系统的对称和隐对称。但是怎么找隐对称要么通过解微分方程(Killing equation)，要不就是不断地试错。

n个守恒量对应了n个限制，在2n个自由度的相空间，这n个限制定义了一个n维的曲面，这个曲面就是所有解可能存在的空间。所有的解都可以看做是在这个曲面里的流，每一个守恒量都生成一个独立的流。。如果这个曲面是compact的，也就是局域的，不会延伸到无穷远的话，而且具n个独立的流的话，那么这曲面等价于一个n维环面，基本的流是一些闭合的环。这就是action-angle坐标的基础。一个一般的解是这些环形运动的叠加，如果这些环形运动的周期的比是有理数，那么这一般的解的轨迹就是闭合的，也就是说是一个周期运动。这些闭合的轨迹往往反应了而外的守恒量，这样的系统也称为超可积。

所有的经典力学(或者具有有限自由度的系统)在局部(locally)都是可积的，就好像表示时空的黎曼空间局部都是平坦的。其实之前提到的n维曲面是一个辛空间。可积性就相当于在辛空间的全局都是平坦的。这里有个有趣的问题：造成辛空间曲率的源是什么？能不能写下一个类似于爱因斯坦方程的方程？或者等价的说，怎么用规范场理论的纤维从来描述这个？

目前的发展，可积系统通常用 Lax 对(pair) 来描述。可以认为Lax 对（L，M）是两个取值为某个李代数的关于相空间的方程。他们满足需要等价于运动方程的Lax 方程

\frac{dL}{dt}=[M,L]

从Lax对 可以很容易的表示守恒量F_k=tr L^k 。虽然用Lax pair来描述可积系统很方便但是：

1. 需要一些灵感去找到Lax pair。
2. Lax pair 并不是唯一的。
3. Lax 本身的系统 和 他描述的物理系统的连接转化不是那么直接的。

其实最大的问题，还是第一个。如果知道系统可积，并且所有的守恒量都找到了，那么可以程式化地构造Lax pair，但是这个时候我们已经知道系统的全部了，并不在需要Lax pair了。如果直接寻找 Lax pair是没有一个程式化的方法的。还有其实，单单有Lax pair还不够，因为我们需要的是独立的守恒量，怎样证明从Lax pair得到的守恒量是独立的，额外要求存在一个 r 矩阵。这个r矩阵不是唯一的，怎样构造这个r矩阵还是没有程式化的方法的。但是脱离物理，单单研究Lax 系统还有r矩阵，可以构造出很多可积的模型 (Zakharov and Shabat construction)。一个问题就是，可不可以对所有的可积系统进行分类。类似于Petrov对于爱因斯坦场引力场方程解的分类。如果像上面提到的，可积系统对应了平坦的辛几何，那么这个分类是不是就是对类似于爱因斯坦方程在辛几何的解的分类？

Zakharov and Shabat construction是基于一种特殊的Lax 体统，里面的Lax pair还依赖一个辅助的谱变量 （L(u),M(u)）。对于任意 u，要求Lax 方程都要等价于系统的运动方程。这似乎对Lax pair提出了更高的限制。但是这个谱变量很有用，因为他提供了无穷多的守恒量的可能。这对于具有无穷自由度的系统很有帮助。

L(u)本身是一个矩阵，所以我们研究它的本征值和本徵向量。我们选取这个L, 让他的矩阵元是u的解析函数。也就是说，矩阵元只能有有一些极点(pole)。这样的话，矩阵的本征值就会有极点还有支点(branch point)。当u在复空间变化绕过一个支点的时候，其中一个本征值会变为另一个本征值。本征值就可以看做是u的一个多值函数。通过共形变换 u->z, 可以让这个关于u的多值函数，变为一个关于z的单值函数。我们有两个量现在本征值和z,都是复数，在本征值和z合起来的2维复数空间，他们的函数关系就定义了一个1维复空间，也就是黎曼面，成为谱曲线。谱曲线完全决定了守恒量的信息。本证向量是这个谱曲线的单值函数，其极点决定了系统随时间演化的信息。

总结一下就是，我们把物理系统转化为一个黎曼面，黎曼面的moduli（描述黎曼面的数据），描述了守恒量，也就是系统的动力学坐标，然后在黎曼面有一些标记点对应了本征值的极点，对应了位置坐标。了解弦论的同学应该发现，这个构造和弦论的S-matrix的构造一样。另外，这个和Witten的3维引力的理论构造一样，和Nima的amplitutehydron的构造类似，和Seiberg-Witten的关于N=2超对称理论的构造一样。。。反正看到这里我是震惊的，让我浮想联翩，再有一条线索，辛几何和复几何是有联系的，也就是著名的mirror对称。这里就真的是物理白日梦了。希望有一天看到这些概念更多的联系。或许没啥联系。但是这是一种趋势，把物理问题转化为其他比如几何的数据。

回到可积性来，这种转化是可逆的，就是给定一个满足一定条件的具有一些特殊点黎曼面我们可以重新构造出一个唯一物理态。

再回到之前的白日梦，这个转化和爱因斯坦的引力几何化还有点不同。这里不是几何化一个理论，而是几何化理论的解。