2019-04-22

2019-04-23 本文已影响0人快乐的大脚aaa

向量组的线性相关性
定理1：设 $s>t$ ，向量组 $\beta_1,\beta_2 ,...,\beta_t$ 可以由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ ，则 $\beta_1,\beta_2 ,...,\beta_t$ 线性相关。
线性相关性的等价刻画1
定理1： $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 线性相关的充分必要条件是存在不全为零的数 $k_1,k_2,...,k_s$ 使得 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s = \theta$ 。
推论1：如果 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 的某个部分线性相关，则 $\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s$ 线性相关。
推论2：如果 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 线性无关，则 $\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s$ 的任一部分线性无关。
线性相关性的等价刻画2
定理1：设 $s\geq 2$ ，则 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 线性相关的充分必要条件是 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 中存在某个向量，使得该向量可以由其余向量线性表示。
定理2：如果 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\eta$ 线性相关,而 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 线性无关，则 $\eta$ 可以由 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 线性表示，并且，这时的表示方式是唯一的。
向量组的极大无关组
定理1：向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 的极大无关组中向量个数等于向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 的秩。
定理2：如果 $r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = r$ ,则 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 中任意 $r$ 个线性无关的向量都是其极大无关组。