日更-《柏拉图与技术呆子》-08

哥德尔不完备性定理

我们上中学做的数学证明题，一般我们都需要利用定理。那证明定理的依据都是什么呢？

• 有的是之前已经被人证明了的定理。那最初的定理是从哪来的呢？
• 最初的定理就不叫定理了，叫“公理”。公理无需证明，是人们普遍认可的东西。

比如说，“两点之间只能有一条直线”，这就是一条公理。

数学家先认可几条公理，然后在公理的基础之上证明各种定理，数学大厦就算建立起来了。
比如欧氏几何学，总共才只有五条公理。
1931年的一次会议上，一个25岁的年轻人，哥德尔，做了一个报告，说他证明了一个有关自然数公理系统的定理。据说当时冯·诺依曼就在报告现场，冯·诺依曼听完哥德尔的报告之后说了一句话：“全完蛋啦（It’s all over）！”

下面这张图是一本漫画书（Logicomix）中的一页，表现了当时哥德尔报告的情景 ——

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哥德尔证明了，在自然数的公理系统中，不但你们想要的那种机械化的证明不存在 —— 而且对有些命题来说，连“证明”本身，都根本就不存在！

这就是“哥德尔不完备性定理”。这个定理说，只要自然数的公理系统只有有限条公理，那么就一定存在一些命题，你既不能用这些公理证明它是对的，也不能判断它是错的。

也就是自然数的公理系统是不完备的。数学家的整个世界观都崩塌了