来自1994年的地标性考题：定义域对称的函数必定可以表示成一个奇

2022-06-03 本文已影响0人易水樵

1994年理数全国卷题15

定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的任意函数 $f(x)$ 都可表示成一个奇函数 $g(x)$ 和一个偶函数 $h(x)$ 之和.

如果 $f(x)=\lg(10^x+1), \; x \in (-\infty,+\infty)$ ，那么（）

$A.\; g(x)=x, h(x)=\lg(10^x+10^{-x}+2)$

$B.\;g(x)=\dfrac{1}{2}[\lg(10^x+1)+x], h(x)=\dfrac{1}{2}[\lg(10^x+1)-x]$

$C.\;g(x)=\dfrac{x}{2}, \; h(x)=\lg(10^x+1)-\dfrac{x}{2}$

$D.\;g(x)= -\dfrac{x}{2}, \; h(x)=\lg(10^x+1)+\dfrac{x}{2}$

【解析】

我们先证明这个命题：定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的任意函数 $f(x)$ 都可表示成一个奇函数和一个偶函数之和.

证明过程如下：

设 $g(x)$ 为上的奇函数， $h(x)$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上的偶函数；且 $f(x)=g(x)+h(x)$

于是 $g(-x)=-g(x), \; h(-x)=h(x)$ ,

对于任意的 $x \in (-\infty, +\infty)$ , 有：

$\left\{ \begin{array}\\ g(x)+h(x)=f(x)\\ -g(x)+h(x)=f(-x) \end{array} \right.$

在以上两个等式中， $f(x)$ 和 $f(-x)$ 表示函数的值，可以根据自变量的值和函数 $f(x)$ 的映射关系求出. 因此，可以将 $f(x), f(-x)$ 视作已知量，而将 $g(x), h(x)$ 视作未知量。这样一来，以上两个等式就构成一个二元一次方程组.

二元一次方程组的求解，是初中级别的数学问题。容易解得：

$\left\{ \begin{array}\\ h(x)= \dfrac{1}{2} (f(x)+f(-x)) \\ g(x)= \dfrac{1}{2} (f(x)-f(-x)) \end{array} \right.$

因为 $h(x)$ 是偶函数而 $g(x)$ 是奇函数，所以

$\left\{ \begin{array}\\ h(-x)= \dfrac{1}{2} (f(-x)+f(x)) \\ g(-x)= \dfrac{1}{2} (f(-x)-f(x)) \end{array} \right.$

以上结果可作如下解释：对于任意的自变量值 $x_0$ , 函数 $g(x),h(x)$ 的函数值可以根据函数 $f(x)$ 的函数值求出。

$f(x_0), f(-x_0)$ 分别代表自变量取值为 $x_0$ 及其相反数时的函数 $f(x)$ 的函数值，

$h(x_0), h(-x_0)$ 分别代表自变量取值为 $x_0$ 及其相反数时的函数 $h(x)$ 的函数值，

$g(x_0), g(-x_0)$ 分别代表自变量取值为 $x_0$ 及其相反数时的函数 $g(x)$ 的函数值，

则根据函数 $f(x)$ 的函数值可以求出 $h(x),g(x)$ 的函数值，公式如下：

$\left\{ \begin{array}\\ h(x_0)= \dfrac{1}{2} (f(x_0)+f(-x_0)) \\ g(x_0)= \dfrac{1}{2} (f(x_0)-f(-x_0)) \end{array} \right.$

举个具体的例子，如果 $x_0=\pi$ , 可以根据函数 $f(x)$ 的映射规则求出两个函数值 $f(\pi),f(-\pi)$ , 然后计算得出函数 $h(x),g(x)$ 的函数值：

$\left\{ \begin{array}\\ h(\pi)= \dfrac{1}{2} (f(\pi)+f(-\pi)) \\ g(\pi)= \dfrac{1}{2} (f(\pi)-f(-\pi)) \end{array} \right.$

$\pi$ 是自变量的一个具体值，换成其他具体值，以上求函数值的方法也是成立的。例如：

$\left\{ \begin{array}\\ h(-0.5)= \dfrac{1}{2} (f(-0.5)+f(0.5)) \\ g(-0.5)= \dfrac{1}{2} (f(-0.5)-f(0.5)) \end{array} \right.$

注意在上式中， $x=-0.5,\; -x=0.5$ .

以上是准备工作；现在回到1994年的这个高考题。

$f(x)-f(-x) = \lg(10^x+1) - \lg(10^{-x}+1) = \lg\dfrac{10^x+1}{10^{-x}+1}$

$\lg\dfrac{(10^x+1)\cdot 10^x}{(10^{-x}+1)\cdot 10^x}=\log 10^x=x$

$g(x)= \dfrac{1}{2} (f(x)-f(-x))=\dfrac{x}{2}$

走到这一步，实际上已经可以作出选择：选项C正确。为保险起见，我们再算一下偶函数 $h(x)$ :

$f(x)+f(-x)=\lg(10^x+1)(10^{-x}+1)$

$=\lg(10^x+2+10^{-x})$

$=\lg(10^{x/2}+10^{-x/2})^2$

$=2 \lg \dfrac{10^x+1}{10^{x/2}}$

$=2\lg(10^x+1) - x$

$h(x)= \dfrac{1}{2} (f(x)+f(-x))=\lg(10^x+1)-\dfrac{x}{2}$

综上所述，选项C是正确选项.

【提炼与提高】

单纯从备考的角度来说，这个二十几年前的高考题属于 “冷门题型” ；在最近十年的高考中已经没有这种题型，未来五年也不太可能出现。

但是，笔者仍然向自己的学生推荐这一考题。理由如下：

（1）抽象函数是高中数学的一大难点。难点中的一个关键点在于：符号 $f(x)$ 在不同的场合有不同的含义。有时代表一个函数，有时代表具体的函数值。这是初学都需要克服的一大障碍。研习本题有助于克服这一障碍。

（2）类似的， $x, -x$ 代表一对相反数；若 $x$ 为正则 $-x$ 为负，若 $x$ 为负则 $-x$ 为正；二者还可能同时为 $0$ . 这点也要留意.

（3）高中阶段的学习是为大学的学习打基础。 「如果函数 $f(x)$ 的定义域是对称的，则该函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和. 」 这是一个重要命题，在大学阶段的数学、物理中都会用到该命题。如果能够流畅地解答1994年的这个高考题，这一命题也就记住了。掌握这个考题的解答，可能需要花费一、两个小时。但是，如果高中阶段不掌握，大学还是要花费差不多的时间学习。大学的时间是宝贵的，最好能够在高中阶段学习、掌握。

（4）总之，这是一个地标性考题。如果能够解答这个考题，表明你对函数的理解上了一个台阶。解答其他函数大题会更加轻松。

来自1994年的地标性考题：定义域对称的函数必定可以表示成一个奇

1994年理数全国卷题15

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