葛立恒数

我们今天要说的叫做葛立恒数，它的物理含义很好理解，它是目前吉尼斯世界纪录中最大的有意义的数字。

为了说明葛立恒数是怎么来的，我们先看一个计算机问题。

超立方体染色问题

假如有一个N维超立方体。我们知道，N＝3时就是我们常见的立方体，当然N＝2的时候是一个正方形。不难看出，二维的正方形有4个顶点，三维的立方体有2^3=8个顶点。那么N维的超立方体就有2^N个顶点。我们将这2^N个顶点之间一一连线。

接下来，我们对这些连线（边）进行染色，要么是红的，要么是蓝的。我们要求任何四个在同一平面上的顶点，彼此之间的连线不能是同一个颜色。

在立方体中要保证每一个四个顶点的平面上颜色都是不同的就困难一些了，但是还是有办法这么画出来的。

当然，在N等于3时还是能有很多种染色方法，保证每个平面不是单色的，但是当N不断增大时，因为点和线太多，保证这一点就越来越难了。最后的问题是，当N达到多大时，至少有一个面无法满足（双色）这个条件？也就是说，不论你如何染色，至少有一个面，它的边都是一种颜色的了。这个N，就叫做葛立恒数。

葛立恒数非常大，远比Googol大得多。如果我们把宇宙看成是一个球面，我们在这个球面上用最小的字体，小到原子的大小，来书写葛立恒数，那么宇宙这个球体也写不下。你可能会问，这么大的数有意义么？在数学上它很有意义，事实上今天IT技术用的很多数字，要远远大于宇宙的尺寸和时间长度。

举例来讲，今天发现的最大素数为两千三百万位（23,249,425位），如果我们把宇宙的直径用最小的长度单位（普朗克，相当于10的-35次方米）来衡量，不过是10的51次方，也就是52位十进制，比最大的素数小很多。如果把宇宙的年龄也用最小的时间单位（也是普朗克，10的－43次方秒）来衡量，也不过10的61次方（62位），也比最大的素数要小得多。

找到最大素数的直接意义是可以设计实现一个更安全的加密系统。如果加密系统出了问题，我们今天谈的比特币或者其他区块链的应用，就失去了基础。因此，世界上很多看似远离我们的科技成就，其实在不经意之间已经用于了我们的生活。

高德纳箭头

讲到这里，你可能会好奇葛立恒数到底有多大，首先我们要说它是一个有限的数字，不是无穷大。但是，由于我们无法写下它的大小，而今天的数学家也无法想象它的具体大小，因此人们只能通过间接的方式描述它的尺度。这里就要引入一个概念，叫做高德纳箭头（↑）了，这个高德纳，就是我们之前介绍过的计算机科学家高德纳。

在讲高德纳箭头之前，我们先说说常人能够想到的增长最快的函数，人们大多会想到最快的增长不过是指数增长，比如2翻番64次，就大得不得了了。但是，指数增长只是高德纳箭头中增长最慢的一种。高德纳箭头是这样定义的。

2↑3=2×2×2=8

2↑4=2×2×2×2=16

3↑3=3×3×3=27

以此类推，这其实就是指数增长。

接下来高德纳定义两个箭头↑↑：

比如2↑↑2=2↑2↑2，注意：此处要从右往左计算，也就是说它等于2↑（2↑2）＝2↑4=16，而

3↑↑3=3↑（3↑3）=3↑27=7625597484987，这就已经大得不得了了。

再接下来，高德纳定义了三个箭头↑↑↑，它每一次要先拆解为两个箭头，比如

2↑↑↑3=2↑↑（2↑↑2）= 65536，而

3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑7625597484987=3^3^3^3……^3^3^3^3^3^3，这已经太多了，没法写下来，因为一共是七万多亿层（7，625，597，484，987层，3的三次方的嵌套）。

四个箭头、五个箭头自己想象吧，我已经想象不出来了，但是它们依然是有限数。

最后说葛立恒数是如何定义的：

它是两个3中间有好多好多箭头，有多少个呢？多得写不下，只好再用一个高德纳箭头表示其中的箭头数目，即第一层的箭头数目等于第二层的数字，而第二层的数字，又是一个巨大的高德纳箭头数（3之间很多箭头），就这样一层层嵌套下去，一直嵌套64层，而最后一层是3的四个箭头。我们知道3的三个箭头已经写不下了，3的四个箭头我已经无法想象了。而葛立恒数有这样的64层，它的大小可想而知。

大数字的意义

今天给大家讲这个大数字有什么意义呢？

首先是让大家体会数学世界和真实世界的差异。

我在小时候，曾经有过这样的疑问，很多数学上的规律，明明通过测量，或者试验很多次的方式来证实，而且每次都是对的，为什么还要用逻辑严格证明呢？后来我才体会到，我们能够试验，能够测量的世界其实非常有限，在这个有限的世界里被证实，不等于真的被证实了。

比如今天说的超立方体染色问题，在我们能够想象的、足够高的维度，都是可以找到染色的方法，不出现同一种颜色的平面。但是当维度增加到葛立恒数时，这个规律就打破了。也就是说我们在小世界里证实的规律，未必适合于大世界。

数学的力量在于，它给我们提供了一个远远超过我们能够身体力行的想象空间。在那个近乎无限的空间里，人类有着超越我们现在的潜力空间。

第二，数学能够让我们感受到自身认知的局限性。人越是发现世界之大，越是能体会自己的渺小。真正的科学家都会说他们的贡献微乎其微，微不足道，这倒不完全是谦虚，而是他们了解的东西越多，就发现自己所做的事情真的只是很小的一个子集。世界上绝大多数顶级科学家都信神，这并不意味着他们笃信某种宗教或者周末要去教堂，而是觉得和“神的力量”相比，人类的见识很渺小罢了。

第三，理解计算机的作用。计算机，特别是今天热门的人工智能是延伸了人们想象力的工具，而不是限制了我们的敌人。没有计算机，我们很难想清楚葛立恒数这样的事情。很多年前，数学家们借助于计算机证明了著名的四色地图问题，这其实就是对我们人脑的智力作了一次延伸。