复数、欧拉公式和复指数信号

2020-12-02 本文已影响0人 remName

一、复数定义

$形如 a + bi，其中 i^2=-1。$

二、复数运算与几何意义

复数可以表示为复平面的向量，其中a为实轴坐标，b为虚轴坐标。

对任意两个复数 $A_1 = a_1 + b_1i 和 A_2 = a_2 + b_2i$

复数加法法则

由向量加法的平行四边形法则，可得

$A_1 + A_2 = (a_1 + a_2) + (b_1+b_2)i$

不同于向量的点积（内积）

$(x_1,y_1) \cdot(x_2,y_2) = x_1x_2 + y_1y_2 , 或者 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

以及向量的叉乘（外积）

$\vec{a} \times \vec{b}结果为矢量，大小为 |\vec{a}| *|\vec{b}|cos\theta或x_1y_2-x_2y_1,方向由右手定则确定$

复数乘法法则为

$A_1A_2之长是A_1之长与A_2之长的乘积，A_1A_2的辐角是A_1与A_2的辐角之和。$

$i^2即可理解为：i逆时针旋转90度，所以结果为-1。$

共轭复数：

复数对实轴的反射， $a + bi的共轭复数为 a -bi$ 。

极坐标下的复数乘法

$(A \angle\alpha)(B\angle\theta) = (AB)\angle(\alpha+\theta)$

三、欧拉公式 $e^{i\theta} = cos\theta + isin\theta$

$e^{i\theta} 表示以单位圆上辐角为\theta为终点的向量。$

欧拉公式的幂级数论证

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...,$ 所以

$e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + ...,$ 由正弦和余弦展开式，显然欧拉公式成立。

欧拉公式将指数和正余弦函数统一起来，一些三角函数用指数形式很容易解决和理解。

四、复指数信号

连续复指数信号

对于连续复指数信号 $x(t)=e^{i\omega t}$ ,可以看成是以角速度 $\omega$ 转动，转动时间为 $t$ 的信号。显然复指数信号可以分解上正弦信号和余弦信号。

$e^{i\omega t}=cos(\omega t)+isin(\omega t)$

当 $\omega$ 不等于0时，所有的 $e^{i\omega t}$ 都是周期信号， $e^{i\omega t}$ 是随着时间 $t$ 的增长，在单位圆上，以角速度 $\omega$ 做周而复始的圆周运动，显然必然会在一定的时间 $T$ 回到相同的位置， $T$ 最小时，即刚好转动一周的时间叫做基波周期。因为正弦信号和余弦信号是复指数信号在两个坐标轴上的投影，而复指数信号是周期的，所以正余弦信号也都是周期的并且其周期相同。