【行列式】4、行列式的性质

2021-01-14 本文已影响0人看远方的星

转置行列式

$D=\left| \begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots& a_{nn} \\ \end{array} \right|$

则转置行列式为

$D^{T}=\left| \begin{array}{cccc} a_{11} &a_{21} &\cdots &a_{n1}\\ a_{12}& a_{22} &\cdots &a_{n2}\\ \vdots & \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots& a_{nn} \\ \end{array} \right|$

性质一： $D=D^{T}$

行列式的值等于转置行列式的值

证明：转置行列式是第一行变第一列，第二行变第二列，前者按行展开，后者按列展开，两者自然相等。
推论：在行列式中，行和列的位置是对称的，对行成立的性质，对列也成立。

性质二

互换两行，行列式变号。

$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{i1} &\cdots &a_{in}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{j1}&\cdots& a_{jn} \\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{n1}&\cdots& a_{nn} \\ \end{array} \right| =-\left| \begin{array}{cccc} a_{11} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{j1} &\cdots &a_{jn}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{i1}&\cdots& a_{in} \\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{n1}&\cdots& a_{nn} \\ \end{array} \right|$

证明：对角线展开，由于交换律存在，即可证明两者相差一个负号。
推论1：若行列式中有两行元素完全相同，则行列式为零。
复习一下：
$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in} (i=1,2, \cdots n)$
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
$M_{ij}$ 为去掉第i行，第j列的代数式。

推论2：非常常用的两个公式：
$\begin{equation*} a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+\cdots +a_{jn}A_{in} = \end{equation*} \begin{cases} D \quad （i=j）\\ 0 \quad (i\neq j ) \end{cases}$
$\begin{equation*} a_{1j}A_{1i}+a_{2j}A_{2i}+\cdots +a_{nj}A_{ni} = \end{equation*} \begin{cases} D \quad （i=j）\\ 0 \quad (i\neq j ) \end{cases}$

性质三

用数K乘行列式某一行中所有元素，等于用K乘此行列式。即：

$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ ka_{i1} &\cdots &ka_{in}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{n1}&\cdots& a_{nn} \\ \end{array} \right| = k\left| \begin{array}{cccc} a_{11} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{i1} &\cdots &a_{in}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{n1}&\cdots& a_{nn} \\ \end{array} \right|$

证明：以带K的那一行展开，每一项都带K，再提出来即可。
推论：某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

性质四

行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，行列式的值不变。即：

$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{i1}+ka_{j1} &\cdots &a_{in}+ka_{jn}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{j1}&\cdots& a_{jn} \\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{n1}&\cdots& a_{nn} \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} &\cdots &a_{1n}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{i1} &\cdots &a_{in}\\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{j1}&\cdots& a_{jn} \\ \vdots & \cdots&\vdots \\ a_{n1}&\cdots& a_{nn} \\ \end{array} \right|$

证明：乘K的那行展开：

$D_{1}=(a_{i1}+ka_{j1})A_{i1}+ \cdots +(a_{in}+ka_{jn})A_{in}$
$=a_{i1}A_{i1}+ \cdots +a_{in}A_{in}+ka_{j1}A_{i1}+ \cdots +ka_{jn}A_{in}$
$=D+0$

零的这部分其实也是一个行列式。

性质五

若行列式某一行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。

证明：见性质四
推论：若行列式某一行的元素都是m个元素的和，则行列式可以写成m个行列式的和。

【行列式】4、行列式的性质

转置行列式

性质一： $D=D^{T}$

性质二

性质三

性质四

性质五

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