算子范数为什么是矩阵范数

矩阵范数要满足四条性质：

• （正定性），
• （齐次性）
• （三角不等式）
• （相容性）

矩阵的算子范数是根据某一个向量范数诱导出来的，它等于注意到是非零标量，于是其中。

假设某种算子范数有定义（即对每一个，都能确定唯一一个实数值，也就是max存在），我们现在证明它确实是一种矩阵范数

• 算子范数非负是显然的，因为对应的向量范数非负。当，当且仅当，都有，根据向量范数知道，这当且仅当都有，当且仅当
• 齐次性也是显然的
• ，我们设其为，这意味着，都有。现在根据向量范数的三角不等式就有然而注意到（根据max的性质就可以得到此不等式），类似有，于是三角不等式成立。
• ，我们同样令其为，因为，所以令，我们就有，基于和三角不等式性质证明的同样理由，我们有，所以相容性成立。