决策树之 GBDT 算法 - 回归部分
GBDT（Gradient Boosting Decision Tree）是被工业界广泛使用的机器学习算法之一，它既可以解决回归问题，又可以应用在分类场景中，该算法由斯坦福统计学教授 Jerome H. Friedman 在 1999 年发表。本文中，我们主要学习 GBDT 的回归部分。
在学习 GBDT 之前，你需要对 CART、AdaBoost 决策树有所了解，和 AdaBoost 类似，GBDT 也是一种 Boosting 类型的决策树，即在算法产生的众多树中，前一棵树的错误决定了后一棵树的生成。
我们先从最为简单的例子开始，一起来学习 GBDT 是如何构造的，然后结合理论知识，对算法的每个细节进行剖析，力求由浅入深的掌握该算法。
我们的极简数据集由以下 3 条数据构成，使用它们来介绍 GBDT 的原理是再好不过了，假设我们用这些数据来构造一个 GBDT 模型，该模型的功能是：通过身高、颜色喜好、性别这 3 个特征来预测体重，很明显这是一个回归问题。
| 身高（米） | 颜色喜好 | 性别 | 体重（kg） |
|---|---|---|---|
| 1.6 | Blue | Male | 88 |
| 1.6 | Green | Female | 76 |
| 1.5 | Blue | Female | 56 |
构造 GBDT 决策树
GBDT 的第一棵树只有 1 个叶子节点，该节点为所有样本的初始预测值，且该值到所有样本间的 MSE（Mean Squared Error）是最小的。实际上，初始值就是所有样本的平均值，即 (88+76+56)/3 = 73.3，原因我们在下文会详细介绍。
接下来，根据预测值，我们算出每个样本的残差（Residual），如第一个样本的残差为：88 - 73.3 = 14.7，所有样本的残差如下：
| 身高（米） | 颜色喜好 | 性别 | 体重（kg） | 残差 |
|---|---|---|---|---|
| 1.6 | Blue | Male | 88 | 14.7 |
| 1.6 | Green | Female | 76 | 2.7 |
| 1.5 | Blue | Female | 56 | -17.3 |
接着，我们以残差为目标值来构建一棵决策树，构造方式同 CART 决策树，这里你可能会问到为什么要预测残差？原因我们马上就会知道，产生的树如下：
因为我们只有 3 个样本，且为了保留算法的细节，这里只用了 2 个叶子节点，但实际工作中，GBDT 的叶子节点通常在 8-32 个之间。
然后我们要处理有多个预测值的叶子节点，取它们的平均值作为该节点的输出，如下：
上面这棵树便是第 2 棵树，聪明的你一定发现了，第 2 棵树实际上是第 1 棵树和样本之间的误差，我们拿第 3 个样本作为例子，第一棵树对该样本的预测值为 73.3，此时它和目标值 56 之间的误差为 -17.3，把该样本输入到第 2 棵树，由于她的身高值为 1.5，小于 1.55，她将被预测为 -17.3。
既然后一棵树的输出是前一棵树的误差，那只要把所有的树都加起来，是不是就可以对前面树的错误做出补偿，从而达到逼近真实值的目的呢。这就是我们为什么以残差建树的原因。
当然树之间不会直接相加，而是在求和之前，乘上一个学习率，如 0.1，这样我们每次都可以在正确的方向上，把误差缩小一点点。Jerome Friedman 也说过这么做有助于提升模型的泛化能力（low variance）。
整个过程有点像梯度下降，这应该也是 GBDT 中 Gradient 的来历。GBDT 的预测过程如下图所示：
按此方法更新上述 3 个样本的预测值和残差，如下：
| 样本 | 目标值 | 预测值 | 残差 |
|---|---|---|---|
| 1 | 88 | 73.3 + 0.1 × 8.7 = 74.17 | 13.83 |
| 2 | 76 | 73.3 + 0.1 × 8.7 = 74.17 | 1.83 |
| 3 | 56 | 73.3 + 0.1 × (-17.3) = 71.57 | -15.57 |
比较这两棵树的残差：
| 样本 | 树1的残差 | 树2的残差 |
|---|---|---|
| 1 | 14.7 | 13.83 |
| 2 | 2.7 | 1.83 |
| 3 | -17.3 | -15.57 |
可见，通过 2 棵树预测的样本比只用 1 棵树更接近目标值。接下来，我们再使用第 2 棵树的残差来构建第 3 棵树，用第 3 棵树的残差来构建第 4 棵树，如此循环下去，直到树的棵数满足预设条件，或总残差小于一定阈值为止。以上，就是 GBDT 回归树的原理。
深入 GBDT 算法细节
GBDT 从名字上给人一种不明觉厉的印象，但从上文可以看出，它的思想还是非常直观的。对于只想了解其原理的同学，至此已经足够了，想学习更多细节的同学，可以继续往下阅读。
初始化模型
该算法主要分为两个步骤，第一步为初始化模型：
上式中， 表示模型，
即模型初始状态；L 为 Loss Function，n 为训练样本的个数，
为样本 i 的目标值，gamma 为初始化的预测值，意为找一个 gamma，能使所有样本的 Loss 最小。
前文提过，GBDT 回归算法使用 MSE 作为其 Loss，即：
公式中 表示第 i 个样本的预测值，我们把例子中的 3 个样本带入
中，得：
要找到一个 gamma，使上式最小，因为上式是一个抛物线，那么 时，上式有最小值，于是：
上式化简后，你一眼就可以看出 gamma = (88+76+56)/3 = 73.3，即初始值就是所有样本的平均值，
模型迭代
算法的第二个步骤是一个循环，伪代码如下：
for m = 1 to M:
(A)
(B)
(C)
(D)
其中，m 表示树的序号，M 为树的总个数（通常该值设为 100 或更多），(A) (B) (C) (D) 代表每次循环中的 4 个子步骤，我们先来看 (A)
(A) 计算
我们把 换成
，该式子其实是对 Loss 求
的偏微分，该偏微分为：
而 意为使用上一个模型来计算
，即用 m-1 棵已生成的树来预测每一个样本，那么
就是上面说的计算残差这一步。
(B) 使用回归决策树来拟合残差 ，树的叶子节点标记为
，其中 j 表示第 j 个叶子节点，m 表示第 m 棵树。该步骤的细节如果不清楚可以查看 CART 回归树一文。
(C) 对每个叶子节点，计算
上面式子虽然较为复杂，但它和初始化步骤中的式子的目的是一样的，即在每个叶子节点中，找到一个输出值 gamma，使得整个叶子节点的 Loss 最小。
为第 m 棵树中，第 j 个叶子节点的输出，
表示在第 j 个叶子节点中所有样本的 Loss，如下面的树中，左边叶子节点上有 1 个样本，而右边叶子节点内有 2 个样本，我们希望根据这些样本来求得对应叶子的唯一输出，而 Loss 最小化就是解决之道。
在 Loss 函数中，第 2 个参数 是模型对样本 i 的预测，再加上
，对于只有 1 个样本的叶子节点来说，
就是该样本残差，而对于有多个样本的节点来说，
为能使 Loss 最小的那个值，下面就这两种情况分别说明：
以上面这棵树为例，左边叶子节点只有 1 个样本，即样本 3，将它带入到公式中：
要求右边的式子最小，和上面一样，我们令其导数为 0：
算得 ，所以当叶子中只有 1 个样本时，该叶子的输出就是其残差。
再来看下右边这个节点，其中包含 2 个样本，同样把样本 1 和样本 2 带入到公式中，得：
对右边求导：
上式为 0 时，Loss 最小，即
于是
可见，当叶子中有多个样本时，该叶子的输出值就是所有样本残差的平均值。
(D) 更新模型，下次迭代中使用 m 棵树来做预测：
上式中， 表示学习率。之后，训练将重新来到 (A) 步骤，进入下一棵树构建的循环中。
总结
本文我们一起学习了 GBDT 的回归算法，一开始，通过一个简单的例子描述了 GBDT 的原理，之后，我们对 GBDT 的每个步骤进行了逐一剖析，希望本文能给你带来收获。
参考：
- Greedy Function Approximation: A Gradient Boosting Machine
- Gradient Boost Part 1: Regression Main Ideas
- Gradient Boost Part 2: Regression Details
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