菱形的探究

在我们的日常生活中，这样的形状经常会出现，这样的性状叫什么？

我们现在观察一下这样的形状，这类图形也是平行四边形，但是却是特殊的平行四边形。它们的邻边都相等，所以我们把这类特殊的平行四边形命名为菱形。

这样我们就给出了菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

那么从图形变化的角度上来，讲一个有弹性的平行四边形，要进行怎样的伸缩变化就可以得到一个菱形呢？

我们把它的4个角都标上字母ABCD，我们让CD这条边水平向左平移CD的长度，之后得到C'D'。

那么我们来总结一下。

菱形的定义是一组邻边相等的平行四边形是菱形。用符号语言表示就是：在平行四边形ABCD中AB=AD推出平行四边形ABCD是菱形。用图形语言表示就是这样的

那菱形具有哪些性质呢？

如果以AC，BD为对称轴翻折两次，我们可以得到一个直角三角形，而且4条边都完全重合，角也两两重合。我们就可以猜想菱形的性质是：对角边互相垂直的平行四边形是菱形；4条边相等的平行四边形是菱形；对角线平分角的平行四边形是菱形。

那么我们应该如何去证明这个猜想呢？

首先我们现在已知平行四边形ABCD是菱形，那么我们要求证就是4条边相等，也就是：

AB=BC=CD=AD、 AC⊥BD、 AC平分∠DAB，∠DCB，BD平分∠ABC，∠ABC。

那么我们要如何证明呢？

首先：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC（这是因为菱形的性质：一对邻边相等。）

然后我们就可以得到：AB=CD。因为由平行四边形的性质一，我们可以得到平行四边形的两组对边相等。

同理，我们就可以得到4条边相等。

∵AD=CD, AO=BO，

∴DO⊥AC且DO平分∠ADC。

我们能得到这个是因为三角形的三线合一。

所以同理可得，我们就可以得到：AC⊥BD， AC平分∠DAB、∠DCB，BD平分∠ABC。

我们把它分为菱形性质定理一与菱形性质定理二。菱形性质定理一是菱形的4条边相等，性质定理二则是对角线互相垂直。

之后又是判定。

小明猜想对角线，相互垂直的平行四边形是菱形。那这其实就是关于判定的猜想。

那么我们要怎么证明呢？

已知：四边形ABCD是平行四边形

∴AO=CO。

∵AC⊥BD

∴∠AOD=∠COD=90°。

在∆ADO和∆CDO中

∵AO=CO，DO=DO，∠AOD=∠COD=90°

∴∆ADO≌∆CDO

既然他们全等，我们就可以得到AD=CD。

除此之外我们还有什么判定的猜想呢？

我们可以猜想4条边相等的平行四边形是菱形。

这一次我们已知的条件就不是菱形了，而是一个四边形。

在四边形ABCD中AB=BC=CD=AD

而我们要证明的就是这个四边形是菱形。

∵AB=CD，AD=BC

∴四边形ABCD就是平行四边形（平行四边形的定义）

又∵AD=AD

∴ABCD就是菱形。

然后我们还可以猜想一条对角线平分，一组对角的平行四边形是菱形。

那么在已知的平行四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，

我们要求证的就是AB=AD。

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠2＝∠3（通过内错角得到）

∵∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴AB=AD。

这就是我们整个菱形的探究过程。