微分与积分(三角函数)

要学习微分首先要学习极限，教材上也按这个顺序编排的。“微”的意思就是小的不能再小了，比如说要砍一棵大树，假设你神功盖世、力大无比，从中间拦腰一刀，树头应声飞了出去不见了踪影，剩下一根树桩孤零零的站在地面上，这个树桩的高度就是原来高度的1/2；你意犹未尽又拦腰砍一刀，上边的又不见了踪影，地上剩下了1/4；再一刀，剩1/8；再一刀，剩1/16；再一刀，剩1/32；再一刀，剩1/64.........能写完吗？即使把简书的服务器都填满了也写不完。但是这个长度是越来越小一直趋向于0，这一点是肯定的，换个说法：极限是0。

1. 极限的定义

极限的定义不能一概而论，而是分成好几种情况：
1.1 数列的极限
前面讲得故事其实就是一个数列。
设{X_n}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε (不论其多么小)，都∃N>0，使不等式|X_n-a|<ε在n∈(N,+)上恒成立，那么就称常数a是数列{X_n} 的极限，或称数列{X_n} 收敛于a。记作:

      或  
这里有2点需要注意：
1.N的取值是大于0的数，也就是n也是大于0的数；
2.|Xn-a|是取的绝对值，也就是说必须从2个方向都趋向a，才是有极限，才能说是收敛的。
性质：

• 唯一性:如果极限存在，则它是唯一的，并且任何子列的极限与原数列相同。
• 有界性:如果一个数列有极限或者说收敛，则一定有界；反之则不一定成立。如数列： 。
• 保号性:若上述的极限值a>0,则对于任意m(0,a),都存在一个N>0,使的当n>N时有>m成立。(a<0时同理修改)
  1.2 函数的极限
  设函数在的某去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意给定的正数>0，都存在正数，使得0<<时，都有，则称A为在时的极限。