线性代数系列：伴随矩阵做题技巧

2025-08-05 本文已影响0人 xiaogp

关键词：线性代数，伴随矩阵

内容摘要

已知A伴随，求A

已知A伴随，求A

若A可逆，则已知A的伴随，一定可以求出A，用以下两个公式可以求出A
$AA^* = |A|E$

$|A^*| = |A|^{n-1}$

例题1

设矩阵 $A$ 的伴随矩阵为
$A^* = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$
求 $A = \, ?$

解:
由伴随矩阵的性质：
$AA^* = |A|E$
若 $A$ 可逆，则有：
$A = |A| (A^*)^{-1}$

根据分块矩阵的行列式性质，
$|A^*| = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} \cdot (-4) \cdot (-1) = (-2) \cdot 4 = -8$
且
$|A^*| = |A|^3$
所以
$|A|^3 = -8 \quad \Rightarrow \quad |A| = -2$

接下来求 $(A^*)^{-1}$ 。

对增广矩阵 $[A^* \mid E]$ 进行初等行变换：

$\left[\begin{array}{cccc|cccc} 4 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \quad \xrightarrow{\text{行变换}} \quad \left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\right]$

因此，
$(A^*)^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -1 & 0 & 0 \\ -\frac{3}{2} & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

又因为 $|A| = -2$ ，所以
$A = |A| \cdot (A^*)^{-1} = (-2) \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -1 & 0 & 0 \\ -\frac{3}{2} & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

最终结果为：
$\boxed{A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}}$

线性代数系列：伴随矩阵做题技巧

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已知A伴随，求A

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