模p多项式根定理
2021-01-25 本文已影响0人
摇摆苏丹
引言
对于多项式方程,根据代数基本定理,我们能算出其根的数量。对于同余式,是否也有相似的定理?没错,它就是模p多项式根定理。
表述
设为素数,是次数为的整系数多项式,且,则同余式最多有个模不同余的解(可简写为最多有个解)。
证明
原命题的反命题是:至少存在一个首项系数不被整除的整系数多项式,使得同余式根的个数大于的次数。现在用反证法证明这个反命题不成立。
在所有满足上述条件中的多项式中取一个次数最低的,设为:
注意,满足上述条件的多项式中一定存在一个次数最低的。容易证明,当时,,又,则无解,此时原命题成立,原命题的反命题不成立。我们关心的是,当的时候,是否存在使得有甚至更多个解。可以假设这样的存在,但是一定有最小值。
设的一组解为:
取其中一个特解,令其为,则有,以及。
对于,总能提出因式,因此:
其中是另一个多项式,其最高次数为。令为特解,令为模不同余的另一个解,得到:
由于与模不同余,为质数,所以,即。可以取除了的所有个根,对于来说,都是它的根。于是就成了次数为,但是有个模不同余的根的多项式,的根的个数大于其次数,但是的次数小于,于是不是次数最低的那个多项式,原命题的反命题存在矛盾,因此原命题得证。