阿基米德和刘徽是如何计算圆周率的(五)

从六边形开始，刘徽能够站的肩膀只有“周三径一”的民间说法，他遥望着海岛，找不到任何趁手的工具，“独怆然而涕下”。“数术”，在古代很多时候都是被瞧不起的。技巧，在某些年代被称为“奇技淫巧”。墨家有圆规和矩尺，最讲规矩，所以说“墨守成规”。但古人没有说“墨守成矩”。矩尺，用勾股定理就全部解决了。圆规画出的图形，如此的迷人，处处对称，但古人却不知道她的面积究竟是多少，因此觉得神奇，墨家就守着这个圆规画出的图形。而墨家，代表的是最底层人民的利益，在古代自然无法发扬光大。墨家“兼爱”的思想大约出于圆，圆周上，每个点都是平等的，到圆心的距离都一样。

刘徽也许看过墨家的断简残编，看到墨家讲的极限思想，于是开启了割圆术之旅。他手里，只有一个工具，他之前，古人用过超过千年，百用不厌的商高-陈子-毕达哥拉斯-勾股定理。

欧几里德用各种公设，证明了勾股定理，然后用勾股定理和其它构建了一个美好的几何世界。我看似乎可以把勾股定理及其逆定理作为第一公设，期待懂数学的人告诉我能否实现。

刘徽是不怎么证明勾股定理的。直接用。勾股定理很多人都证过。业余数学爱好者，最乐于做的几件事：

（1）证明勾股定理

（2）计算圆周率

（3）e的相关公式的证明，会用exp算利率

（4）炫耀欧拉公式，仿佛那是自己发现的一样

（5）证明蝴蝶定理，用三种以上的方法

（6）对一个很难的问题，声称自己可以给出一个证明，地方太小，写不下

其他不说了。本文就在做第二件事，重复计算圆周率的过程。

刘徽第一图

如图，三角形AOB是一个正三角形，AB是圆O的一条弦，同时，AB就是内接正六变形的一条边。X点是弧AB的中点。XO垂直平分AB，垂足为点T。那么，AX是内接正十二边形的一条边。

四边形AOBX的对角线互相垂直。三角形AOX的面积是 XO * AT / 2 ，三角形BOX的面积是 XO*BT/2，两个三角形相加，总面积是 XO*(AT+BT)/2，也就是XO*AB/2。就是说四边形AOBX的面积是XO*AB/2。圆内接正12边形的面积是它的6倍。从这里，总结出的公式是：

圆内接正2N边形面积 = N × R × 内接N边形的边长 / 2

如果规定圆的半径为1, 会发现，在数值上，2N边形的面积和 N边形的半周长是一样的，都是一个接近3的数，也就是随着边长增大，接近圆周率。

所以，刘徽计算面积，但是，通过N边形的边长，计算2N边形的面积。

一开始，不需要计算面积，只是计算边长。等计算到96边形的边长的时候，直接就可以计算192边形的面积了。

计算边长，一开始，要不断的开方，所以，一开始也不计算边长，而是计算边长的平方。能够不开方，就尽量不开方。

上图中，规定半径为1,则，

OT方 = AO方 -OT 方 = 1-1/4 =3/4=0.75

OT = 0.75开方 = 0.8660254,刘徽原文写：“八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二”，因为他规定圆的半径为1尺。那时候的单位是“尺寸分厘毫秒忽”，那个数字没有提到“毫”，现在，自动帮他添0。最后的4是五分之二，也就是刘徽说的“五分忽之二”，单位是“忽”。所以，我说，古代中国的十进制运算发达，是依赖于单位的。每个数值都有单位。后世，祖冲之从“亿”“万”这样的单位开始计算，所以，能走的更远。

AX方= AT方+ TX方 = AT方 + （1 -  OT ) 方  = AT方 + 1 - 2OT + OT 方 = AO 方 + 1 -  2OT = 2 - 2OT

AX方 = 0.26794922

实际上，正十二边形边长的平方精确的值是 （2 - 根号3）

文字描述数学，太困难了，上图。

任意角度下的切割 计算用公式 计算用公式

由内向外运算。从1开始，不断的加2,开方，加2，开方。若干次以后，用2减，就得到了想要的边长的平方。最后，开出来，就是需要的结果了。很明显，边长会越来越短，两部分相减会越来越接近于0,因此，尽量多保留一些有效数字才行。

边长计算

这样，计算得到96边形的边长，0.065438，原文说“开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽”。

这个数字，乘以48,就是192边形的面积。

48* 0.065438 = 3.141024

至此，刘徽的工作也完成了一半。圆的面积肯定比 3.14大，圆周率也比 3.14 大。

阿基米德先求上限，得到圆周率比 22/7 小， 刘徽先求下限，得到圆周率比 3.14大。22/7的近似值是3.142857。此时，如果把两个人的工作结合并起来，也可以得到，圆周率大于3.141，小于3.143

但事实上，两个人隔了万水千山数百年，没有合作的机会。倒是后来的祖冲之，继承了国人强大的运算能力，直接算到7位小数，给出盈朒二率，震惊世界。祖冲之那个震惊世界的程度，不亚于现在的太湖之光和量子计算。