空间解析几何(空间直线)

2020-05-07 本文已影响0人叶一湫

1.空间直线的一般方程

空间中的直线是有两个相交的平面给出，设平面 $\pi_1$ 的方程： $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ ， $\pi_2$ 的方程： $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ ，则直线方程为：
$\left \{ \begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix} \right .$
这个方程如果有解必定是无数个解。

2.空间直线的点向式(对称式)方程

设直线 $L$ 上一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和它的一个方向向量 $\vec S=\{ m,n,p \}$ ,则L的方程为：
$\frac {x-x_0}m=\frac {y-y_0}n=\frac {z-z_0}p$
此处利用两向量平行，则其分向量对应成比例的性质得到。
上式简单变化一下就可以得到参数方程。
$\left \{ \begin{matrix} x=x_0+mt \\ y=y_0+nt\\ z=z_0+zt \end{matrix} \right .$
需要注意的是：

当m,n,p中只有一个为零时，说明与相应的坐标轴垂直；
当m,n,p中有两个为零时，说明与相应的两个坐标轴垂直；换言之，是与剩余的坐标轴平行。

3.两直线的夹角

根据方向向量，用点积公式可以得到夹角的余弦。

两直线平行的充分必要条件： $\frac {m_1} {m_2} =\frac {n_1} {n_2}=\frac {p_1} {p_2}$
两直线垂直的充分必要条件： $m_1 m_2+n_1 n_2+p_1 p_2=0$

4.两直线共面

在直线上各任取一点，相连后得到直线的向量与两直线方向向量的混合积为零。
设直线 $L_1$ 方程: $\frac {x-x_1}{m_1}=\frac {y-y_1}{n_1}=\frac {z-z_1}{p_1}$
直线 $L_2$ 方程: $\frac {x-x_2}{m_2}=\frac {y-y_2}{n_2}=\frac {z-z_2}{p_2}$ ，若直线 $L_1$ 和 $L_2$ 共面，则有：
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ m_1 & n_1 & p_1 \\ m_2 & n_2 & p_2 \end{vmatrix}=0$

5.直线与平面的夹角

直线与平面之间的夹角可以转换为计算直线方向向量与平面法向量之间的夹角。
设直线的方程为： $\frac {x-x_0}{m}=\frac {y-y_0}{n}=\frac {z-z_0}{p}$ ,方向向量 $\vec S=\{ m,n,p\}$
平面的方程为： $Ax+By+Cz+D=0$ ,法向量 $\vec \eta=\{A,B,C \}$ 二者之间的夹角为 $\theta$
根据内积公式有： $\vec S \cdot \vec {\eta}=\left | \vec S \right | \left | \vec {\eta} \right | \cos(\frac {\pi} 2-\theta)$
整理变换后得到：
$\sin {\theta}=\frac {\left | Am+Bn+Cp \right | } {\sqrt{A^2+B^2+C^2} \sqrt{m^2+n^2+p^2}}$
注意：1.分子应加上绝对值。
2.直线与平面平行、垂直的条件恰好与直线之间同样关系条件相反。