泰勒公式

2020-12-15  本文已影响0人  明夷

还记得

f(x + \triangle x) = f(x) + f'(x)\triangle x + \alpha\triangle x

吗？

这个等式还隐藏着一个不大也不小的秘密。要想窥探这个秘密，需要先假设存在一个常量 x_0，令 x = x_0 + \triangle x。将 x_0 代入上式，可得

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)\triangle x + \alpha\triangle x

上式与上上式完全等价，但是要比后者更为直观地表现了我用自己创造的 f' 模拟 f 的意图。

例如，对于函数 f(x) = \sin x，由于我已经创造出来 f'(x) = \cos x，所以基于上式，可将 f(x) 模拟为

f(x) = \sin x_0 + \cos x_0\triangle x + \alpha\triangle x

由于 x_0 是个常数，是我很容易能够给出的，\triangle x 是个微小的变化，具体有多小，我也能自行确定，所以我完全可以认为自己已经基于 f' 模拟出了 f，这意味对于 f，至少我在 x_0 的微小变化范围之内有了一些理解。例如，若 x_0 = 0，则上式可具体化为

\sin x = 0 + 1\times(x - 0) + \alpha\triangle x = x + \alpha\triangle x

由于 \alpha\triangle x 比 \triangle x 更为微小，若 \triangle x 可以忽略不计，那么 \alpha\triangle x 更可以忽略不计。所以，现在若假设 \triangle x 可以忽略不计，那么

\sin x = x

亦即，当 x 为 x_0 = 0 轻微到可以忽略不计的变化时， \sin x = x。例如，如果我取 \triangle x = \pi/180，那么 \sin(\pi/180) = \pi/180。

若 x_0 = \pi/6，则 f(x)=\sin x 可模拟为

\sin x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{\pi}{6}\right)

将 f(x) 表示为 f(x_0) + f'(x_0)\triangle x + \alpha\triangle x 的形式，意味着任何一个复杂的函数，只要能够构造出它的导函数 f'(x)，便可基于简单的线性函数模拟它的任一局部。在直觉上，不妨将此事理解为画家可以用一组粗略的直线条勾勒出复杂物体的轮廓。

在高等数学里，

Eq-1
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)\triangle x + \alpha\triangle x

叫作泰勒公式。当然，我给出的这个泰勒公式过于简单，但它描述了真正的泰勒公式最基本的样子。

真正的泰勒公式，是对 \alpha\triangle x 给出了更为精细的分解。要理解这种分解是如何进行的，需要先基于 Eq-1，利用线性函数的求导公式求出 f'(x)：

f'(x) = f'(x_0) + \alpha

如果对 Eq-1 进行改造，基于它可以求出

f''(x) = f''(x_0) + \alpha

那么无论是在形式上还是在现实意义上，都令人振奋。下面对 Eq-1 的改造能够符合上述要求：

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)\triangle x + \frac{1}{2}f''(x_0)\triangle^2 x + \frac{1}{2}\alpha\triangle^2 x

依此类推，如果我希望 f(x) 的 n 阶导函数为

f^{(n)}(x) = f^{(n)}(x_0) + \alpha

那么，就需要将 Eq-1 改造为

Eq-2
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)\triangle x + \frac{1}{2}f''(x_0)\triangle^2 x + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)\triangle^n x + \frac{1}{n!}\alpha\triangle^n x

Eq-2 几乎就是真正的泰勒公式了。要让它成为真正的泰勒公式，只需令

\alpha = \frac{1}{n + 1}f^{(n + 1)}(\theta)\triangle x

其中，\theta\in (x_0, x)。这么做，大概是为了兼容拉格朗日提出的中值定理：

f'(\theta) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

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