Selection Bias消解方案简述
在去偏：什么是bias，为什么要消除bias，何时，怎么消除bias
中论述了我们业务体系中的偏差，以及如何处理他们。
会有bias可以直接消解吗？也有。
定义
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建模目标定义
建模目标：P(Y|X)的条件分布。 -
预估问题中，常见Selection偏差的定义[5]：
假设对于特征变量Z，在样本中的边缘分布p'(z)与总体中的边缘分布p(z)不同。那么样本在z上是有bias的。（这里的样本和总体，通常也可以是：训练样本与推断样本）【这里可以是样本与总体，也可以是控制组与对照组】
譬如训练时，对总体进行了对z的有偏采样。p(z|select=0) != p(z|select=1)，即p(z|select) != p(z)
譬如AB test中对变量xi进行研究（假设AB组别的变量因子分布一致），当p(z|group=A) != p(z|group=B)时，AB分组也是有偏的，可能会影响实验结果。（比如A组很多土豪用户，B组很少）
注意：这里的z不在x的集合中，即z不属于x
这样的问题非常常见，譬如在广告，推荐中，显式隐式地都存在这样的问题。
何时selection bias可以消解
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1、最严格条件：z与x,y都无关
eg:
非常常见的，完全随机：
比如随机AB实验，我们ab分组的方式与y是无关的（完全随机分组），所以我们建模的时候不用考虑AB分组，即p(y|x,z=A)=p(y|x,z=B)=p(y|x)
或者完全随机采样。 -
2、z与y无关：（完全无关不一定是没有z->y，概率建模需要没有任何连接，y->z也不行）
其实z只要与y无关即可。满足p(y|z) = p(y)，则p(y|x, z)=p(y|x) -
3、条件独立：譬如：
当y在 given x的情况下与z无关：p(y|x, z)= P(y|x)。
eg:
比如在广告预估场景：y:win，x:bid，z：特征空间
对成功率建模p(win| bid ,z ) = p(win|bid) 【z为特征空间】
因为概率的关系建模为：z->bid->win。
当然，在某些特殊情况下，比如adx平台对某些用户有筛选地控制竞价时，所以其biding landscape是depending on 具体流量的，通常具体流量也可以拿z来部分替代。 -
4、TODO，需要额外数据建模：
eg:
譬如对y=0的样本负采样，联合分布p(y,x)发生了改变，边缘分布p(y)，p(x)也发生了变化，理论上所有x的分布都是有偏的，即：p(x| select=0) != p(x| select = 1) 。但是p(y|x)的条件概率分布是不受影响的，所以我们仍然用这种方式进行样本采样，训练。
不过这里要注意一个陷阱，就是在总体分布上，given x的情况下z是与y独立的，但是当我们通过采样来进行参数估计的时候，如果采样的不合理，同样会造成最终结果有偏[1]。（当然，这里是另外一个问题了，这种方式为什么可行，在什么条件下能优化我们ranking问题，其实也是需要严谨的推导的。详细见非均衡数据分类，以及采样对其的影响 以及论文[0]的chapter 3。）
可能陷阱
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1、忽略y、z的相关性
概率建模：z->x->y，z->y
控制组与对照组p(z) != p'(z)，由于有z->y，所以我们不能忽略z
eg:
在营销等领域，譬如x的含义是“是否发优惠券”，我们想知道发券对用户转化y的影响p(y|x)。对于这个问题，其实我们实际上想知道revenue = p(y|x=1) - p(y|x=0)。以此来对x进行决策【x其实也可以有多值选择，譬如多档位的优惠券】。单纯这样建模是错误的，因为y可能受到z的影响更大，如果我们按一定的条件（跟z相关）发券后，这样建模很可能得到错误的结论。【当然，完全随机实验能解决这个问题，完全随机实验其实就是让x独立于z，切断z->x的连接】
所以对于这样的问题，一般来说，我们天然地就通过p(y|x,z)来建模，revenue=p(y|x,z=1) - p(y|x,z=0)可以用来估计预期增益。但是由于x变量（发券）是我们人为控制的，如果这个控制策略本身导致样本非常不balance，比如样本中给男性发的券大大低于女性，但也会导致估计的偏差[1]。 -
2、Covariate Shift
如果z是偏差变量，那么将z带入模型，通过p(y|x,z)建模确实能解决不少的问题。
但是往往现实中z会伴随着一些样本unbalance的问题【部分unbalanced的问题，不一定都会导致预估出来的条件概率误差太大，譬如上述undersampling的例子】，或者covariate shift的问题【上述unbalanced dataset的问题，如果较为严重，譬如样本中根本没有给男性发券，其实就是一种直觉理解的covariate shift】。
eg：
譬如常见的ctr，cvr建模。例如y是转化，z是点击，x是特征变量。同样地，x->z->y，x->y
我们关心的目标是：
点击率：p(z=1|x)
转化率：p(y=1|z=1, x)
通过概率建模，其中的概率分布关系是没有问题的。
但是这里隐含的Covariate Shift是，我们建模的时候用z=1的样本建模，推断的时候用全量的样本推断。
z是观察变量，但是是我们预估y前无法观测到的。
由于 p(z=1|x)* p(y=1|z=1, x) = p(y=1, z=1|x)。因此我们可以通过p(y=1, z=1|x) / p(z=1|x) 来建模cvr。这两个概率都是可以直接在全量样本上建模，一定程度上解决covariate shift的问题[2]【有问题，请勿参考ESMM】
PS：covariate shift起因大致可以分为两种(1) sample selection bias and (2) non-stationary environments.[3]。前者(1)可以比较明确地定义并建模，其中的一些情况在论文[0]中有比较详细的阐述与分析解决方案。后者(2)常见于时间空间变化（整个环境，状态的变化）下状态发生变化的情况，还有譬如adversarial modeling（例如adversary总在寻找缺陷进行变化的攻击） -
3、过度追求unbiased
unbiased estimator一定比biased estomator好吗？答案是否定的。直观就很好理解，譬如一个estimator 是biased的，但是其bias与variance都很小。另一个unbiased estimator，虽然没有bias，但是variance非常大。这种时候，我们也可能会prefer前者。
Refer
- [0] When is undersampling effective in unbalanced classification tasks?
- [1] 样本不balance会导致估计本身有偏严重，导致模型在不同类别（变量取值）下如果variance差别太大。从直觉上很好理解样本越少，其数据本身不确定性越大，数据量越大越能代表总体。理论如下：
1、根据中心极限定理，其样本均值的variance与样本容量n成反比。
2、最大似然估计对variance的估计本身有偏，样本越少偏差越大（分母为n，分母为n-1的情况下，样本variance才是总体variance的无偏估计）。 - [2] 相关思路在Esmm中用乘法的方案实现（文中认为除法会有一定的数值不稳定性）。我认为，其实这里中的bias是non-stationary environments，而非是文章中所述的ssb，因为这个本身不是一个主动选择过程))【因为曝光未点击的样本，我们不知道真实label，这部分是missing data，无法直接选择做样本】。（bias的种类在后面的PS中有阐述）【当然，从理论上如何划分（是哪种bias），并不是问题关键所在，理论的完备某种程度上只是让其更优雅而已】
当然，由于样本本身的稀疏性，p(y=1, z=1|x)【ctcvr】的建模本身就很困难，所以说可以有很多tricky的方法来辅助，譬如进行多阶段的训练，对p(z=1|x)【ctr】进行frozen来辅助训练【ctcvr】。
【更新：ESMM这篇文章，我仔细推导了一下对CVR模型侧的loss，应该是有点问题的。当ctcvr=1时，其loss与直接训练是一致的。当ctcvr=0时，其梯度会弥散：当pCvr接近1或者接近0，梯度都是接近0，这种状态导致比较明显的第一层就存在的梯度弥散，当然也许正是这个原因，对于CVR塔的参数过高的负样本问题也能缓解一下？关于对cvr塔输出节点的梯度：
其中：
,
为ctr的预估分
为ctcvr的label（对ctr部分偏导为0）
label=0，pCtr=0.99时，对o的loss曲线
label=0，pCtr=0.5时，对o的loss曲线
可以看出，1、loss方向是对的，label=0，激活函数与
【同时，在Large-scale Causal Approaches to Debiasing Post-click
Conversion Rate Estimation with Multi-task Learning这篇文章中，作者也指出ESMM是biased。同时这篇文章其实解决了ESMM的loss的问题，直接将pCtr引入作为propensity score（做IPW），创新点在于使用了multi-ipw（多目标同时训练），引入imputation model来解决同时训练ctr与cvr带来的误差】(IPW本身相关思路其实并不创新，propensity score可见：An Introduction to Propensity Score Methods for Reducing the Effects of Confounding in Observational Studies，其实通过pCtr优化cvr估计，就是将click变量作为confounder。类似思路可见：Nonresponse weighting adjustment
using estimated response probability）以及：Item Popularity and Recommendation Accuracy，
以及Weighting Regressions by Propensity Scores。对于当前问题，理论上：对于click=1的样本，权重为，对于click=0，权重为
，不过其中click=0样本的ground truth我们无法获得。见Recommendations as Treatments: Debiasing Learning and Evaluation。IPWE：https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_probability_weighting。工程上，ctr在所有曝光样本上建模，cvr在observed data（点击样本）上建模（cvr部分的loss只包含observed data的样本），用pctr的倒数作为样本权重加权。这里有个比较反直觉的是：虽然在click=0的情况下，Y(cvr)的ground truth我们不知道，但是用ipw的情况下，我们并没有直接考虑未点击样本，也能得到unbiased estimator。
PS：注意，当前问题中，SSB其实click并不能直接解释为confounder。（Confounding Bias与Selection Bias不等价）
- [3] https://towardsdatascience.com/understanding-dataset-shift-f2a5a262a766 Chapter: Major Causes of Dataset Shift.后续阐述了一些检测以及处理Covariate Shift的方式。
- [4] https://www.analyticsvidhya.com/blog/2017/07/covariate-shift-the-hidden-problem-of-real-world-data-science/
其实dataset shift也可以分为多种
Shift in the independent variables (Covariate Shift)
Shift in the target variable (Prior probability shift)
Shift in the relationship between the independent and the target variable (Concept Shift) - [5]:有一个相对概述的讲解，但是要解决的问题是有区别的，可以作为拓展参考：Recovering from Selection Bias in Causal and Statistical Inference
