多面体与球：2015年全国卷B题9

2021-09-28 本文已影响0人易水樵

（9）已知 $A,B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $\angle AOB=90°,C$ 为该球面上的动点. 若三棱锥 $O-ABC$ 体积的最大值为 $36$ ，则球 $O$ 的表面积为

$(A)36\pi\qquad(B)64\pi\qquad(C)144\pi\qquad(D)256\pi$

【解析】

如上图所示，当 $OC$ 与平面 $AOB$ 垂直时，三棱锥 $O-ABC$ 体积达到最大值。

所以 $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times R^3 = 36$

$R=6$

球 $O$ 的表面积为 $4 \pi R^2 = 144 \pi$

结论：选项C正确。

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