近世代数

近世代数理论基础3:等价关系

2019-02-08  本文已影响19人  溺于恐

等价关系

关系

设A为一个集合,R为积集合A\times A=\{(a,b)|a,b\in A\}的子集,则称R为集合A上的一个关系,\forall a,b\in A,若(a,b)\in R,则称a与b具有关系R,记作aRb,否则称a与b不具有关系R

等价关系

设A为一集合,R是A上的一个关系,若R满足:

自反性:\forall x\in A,有(x,x)\in R

对称性:\forall x,y\in A,若(x,y)\in R,则(y,x)\in R

传递性:\forall x,y,z\in A​,若(x,y)\in R,(y,z)\in R​,则(x,z)\in R​

则称R为集合A上的一个等价关系,记作\sim

例1

有理数域Q上所有柯西列构成的集合A,即A=\{\{a_n\}_{n=1}^\infty|a_n\in Q且\{a_n\}是收敛数列\}

在A上定义关系\sim

\forall \{a_n\},\{b_n\}\in A,令\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to \infty}b_n=b

a=b,则定义\{a_n\}\sim \{b_n\}

例2

m\gt 1,m\in Z_+,定义R=\{(x,y)|x,y\in Z且x-y能被m整除\}

R是Z上的等价关系

等价类

设R为集合A上的等价关系,\forall a\in A,与a等价的所有元组成的集合为元a所属的等价类,记作[a],即[a]=\{b\in A|(a,b)\in R\},a称为这个等价类的代表元

所有等价类构成的集合称为A关于R的商集,记为A/R,即A/R=\{[a]|a\in A\}

命题

设R为集合A上的等价关系,则\forall a,b\in A,[a]=[b]\Leftrightarrow (a,b)\in R

证明:

必要性​

若[a]=[b],则b\in [a]

由等价类的定义

(a,b)\in R

充分性

若(a,b)\in R,则\forall c\in [b],有(b,c)\in R

由传递性

(a,c)\in R

\therefore c\in[a]

\therefore [b]\subset[a]

由对称性

(b,a)\in R

\forall c\in [a],有(a,c)\in R

由传递性

(b,c)\in R

\therefore c\in [b]

\therefore [a]\subset [b]

\therefore [a]=[b]\qquad\mathcal{Q.E.D}

(注:命题表明一个等价类可选择其中的任何一个元为代表元)

划分

设A是一个集合,\{U_i|i\in I\}是A的子集簇,其中I是某个确定的指标集,满足:

(1)\forall i\neq j,i,j\in I,有U_i\cap U_j=\varnothing

(2)\bigcup\limits_{i\in I}U_i=A

则称\{U_i|i\in I\}是集合A的一个划分

定理:若R是集合A上的等价关系,则商集A/R是A上的一个划分

证明:

对A/R中任意两个等价类[a]和[b]

若[a]\neq [b],则[a]\cap [b]=\varnothing​

若不然,即[a]\cap [b]\neq \varnothing

\forall c\in [a]\cap [b]

由c\in [a]可知(a,c)\in R

由c\in [b]可知(b,c)\in R

由对称性知(c,b)\in R

由传递性(a,b)\in R

\therefore [a]=[b],矛盾

下证A=\bigcup\limits_{[a]\in A/R}[a]

\forall [a]\in A/R,有[a]\subseteq A

\therefore \bigcup\limits_{[a]\in A/R}[a]\subset A

\forall a\in A,有a\in [a]\subseteq \bigcup\limits_{[a]\in A/R}[a]

\therefore A\subseteq \bigcup\limits_{[a]\in A/R}[a]\qquad\mathcal{Q.E.D}

定理:若\{U_i|i\in I\}是集合A的一个划分,则存在A上的一个等价关系R,使A/R=\{U_i|i\in I\}

证明:

定义A上的关系R

R=\{(a,b)|\exists U_i使a,b\in U_i\}

显然,R为A上的等价关系

令B=\{U_i|i\in I\}

\forall [a]\in A/R

\because B为集合A的一个划分

\therefore \exists U_i\in B使a\in U_i

由R的定义知

[a]=U_i

即[a]\in B

\therefore A/R\subset B

又\forall U_i\in B​

取a\in U_i​

\because [a]=U_i

\therefore U_i\in A/R

即B\subset A/R\qquad\mathcal{Q.E.D}

(注:两个定理表明,集合的划分和等价关系是一回事)

令集合A=\{a,b,c\},U_1=\{a\},U_2=\{b,c\},则\{U_1,U_2\}是A的一个划分,该划分对应的等价关系为R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}

f:A\to B为一个映射,则f可诱导出A上的一个关系R,R=\{(a,b)|f(a)=f(b),a,b\in A\},显然R是A上的等价关系,其商集为A/R=\{[a]|a\in A\}

f还可诱导出一个从A/R到B的映射\bar{f}:\bar{f}([a])=f(a)

定理:(1)上述\bar{f}是单射

(2)\bar{f}是双射\Leftrightarrowf是满射

证明:

(1)先证\bar{f}的定义是良性的

\forall [a],[b]\in A/R

若[a]=[b],则(a,b)\in R

\therefore f(a)=f(b)

\therefore \bar{f}([a])=\bar{f}([b])​

再证\bar{f}是单射​

\forall [a],[b]\in A/R

若\bar{f}([a])=\bar{f}([b])

即f(a)=f(b)​

\therefore (a,b)\in R​

\therefore [a]=[b]

(2)由(1)知\bar{f}是单射

\therefore \bar{f}是双射\Leftrightarrow \bar{f}是满射

显然,\bar{f}是满射\Leftrightarrow f是满射\qquad\mathcal{Q.E.D}

自然映射(典范映射)

\pi:A\to A/R,\pi(a)=[a]

例:设A=\{1,2,3,4\},B=\{a,b,c\},从A到B的一个映射f定义如下:f(1)=f(2)=f(3)=a,f(4)=b,则由f诱导出的等价关系为

R=\{(1,1,),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(4,4)\}

它的商集为A/R=\{[1],[4]\},其中[1]=\{1,2,3\}=[2]=[3],[4]=\{4\}

映射f诱导的从集合A/R=\{[1],[4]\}到B的映射\bar{f}如下:\bar{f}([1])=f(1)=a,\bar{f}([4])=c,显然,\bar{f}的定义与A/R中元的代表元选择无关,即\bar{f}是良性定义,且\bar{f}是单射,由于f不是满射,所以\bar{f}也不是双射

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