实对称矩阵的基本性质

2021-01-17 本文已影响0人 Boye0212

设 $A$ 为 $n\times n$ 实对称矩阵，则

$A$ 的特征值都是实数；
不同特征值对应的特征向量相互正交；
$A$ 可对角化，即存在一个正交阵（orthogonal matrix） $X$ （即X'X=I）和一个对角阵 $\Lambda=\text{diag}\{\lambda_1,\ldots,\lambda_2\}$ ，使得 $X'AX=\Lambda$ ；
$\vert A\vert=\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i$ ；
$\text{tr}(A)=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i$ 。