巴拿赫不动点定理和迭代法

在巴拿赫空间中，收缩算子在闭集上具有唯一的不动点。

这个定理也叫压缩映像原理，确保了迭代法的收敛性。

首先来看收缩算子的定义，，意思就是算子A作用后，空间中的两个点会靠得更近。从直观上，我们就能感觉到不断使用这个算子，就能把一个集合中的点都聚在一起。这个其实就是定理的内容，不过，定理描述的更加精确，这种互相靠近的速度，初始点和不动点的误差，有限次迭代点和不动点的误差，都可以被精确的描述出来。

这个定理的证明就使用了巴拿赫空间的完备性，可以证明迭代序列是一个柯西序列，所以必然收敛。这个最终收敛的点就是不动点,满足条件。

迭代法和序列结构的构造，迭代是一种特殊的顺序性结构，反映了相同模式的重复出现，比如二叉树，就是在每一个叶节点上分出两个枝条，这一构造模式的反复应用。这种结构和自相似结构有很大的关联，科赫雪花，在每一条边上添加一个角，康托集，在每一个区间上三等分，去除中间的部分。所以，虽然对于这种收缩算子而言，迭代法显得有些过于简单了，将其抽象为一种代数结构时，就可以构造出非常复杂而精美的结构。分析更多体现了一种实用性，而代数则往往可以反映数学的形式美。

对于抽象一些的内容，就是可计算性理论中的递归函数，或者实用化为程序里面的递归，这种递归操作也是一种迭代法的实现。还有就是数值分析和数值计算中的应用了，在给定精度下，尽可能快的收敛到所需的值。