数学教育自然科普一些问题

(sinx)^n+(cosx)^n 的值域

2020-03-15 本文已影响0人秋天静如水

今天看到「善科题库」发了一条微博，求函数 f(x) =\sin^6 x+\cos^6 x 的值域。

这个题目当然是很简单的，高中套路题，算一下 $(\sin^2 x+\cos^2 x)^3$ 就好啦，无聊的我居然真的拿笔算了一下，答案是 $[ \tfrac{1}{4} ,1]$ 。

然后我又想着用 Mathematica 算一下指数是其他数时的情况，发现这个是有规律的啊，

观察可以发现，对于 $f(x) = \sin^n x+\cos^n x,\,n \in \mathbb{N}^+$ ，当 $n=1$ 时值域是 $[-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}]$ ，当 $n>1$ 时要看 $n$ 的奇偶性，当 $n$ 是奇数时值域一直是 $[-1,1]$ ，当 $n$ 是偶数时值域是 $[2^{1-\frac{n}{2}},1]$ 。为了表达的美观性，可以记 $n$ 为偶数时 $n = 2k$ ， $f(x)$ 的值域是 $[ \tfrac{1}{2^{k-1}},1]$ 。

观察到了结论，想一想怎么说明它吧，试了试也不是很难。

$n=1$ 时是很熟悉的
$f(x) = \sin x+\cos x = \sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4} ) \in[-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$

当 $n \geq 2$ 时，
$f(x) = \sin^n x+ \cos^n x \le \vert \sin x \vert^n + \vert \cos x \vert^n \le \sin^2 x + \cos^2 x = 1$

等号可以取到，比如 $x= 0$ 时。所以 $n \geq 2$ 时 $f(x)$ 的最大值就是 $1$ 。

$n = 2k$ 时，考虑到 $g(x) = x^k$ 在 $(0,+\infty)$ 上是一个下凸函数，有
$f(x) = \sin^{2k} x + \cos^{2k} x \geq 2 \cdot \left( \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{2} \right)^k = \dfrac{1}{2^{k-1}}$

当 $\sin^2 x = \cos^2 x$ 时取到最小值；
$n$ 为大于 $1$ 的奇数时，
$f(x) = \sin^n x + \cos^n x \ge -\vert \sin x \vert^n - \vert \cos x \vert^n \ge - \sin^2 x - \cos^2 x = -1$

等号可以取到，比如 $x = \pi$ 时。

考虑函数的连续性，到这里就完成说明了，可以确定 $f(x)$ 的值域正如前面观察到的那样。

参考：

Finding range of values of trigonometric function - Mathematics Stack Exchange

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