同济高等数学第七版1.3习题精讲

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同济高等数学第七版1.3习题精讲

1.对图1-8所示的函数 $f(x)$ ，求下列极限，如果极限不存在，说明理由。

(1) $\lim_ {x\to-2}f(x)$ ;

(2) $\lim_ {x\to-1}f(x)$ ;

(3) $\lim_ {x\to 0}f(x)$ .

解：

(1) $\lim_ {x\to-2}f(x)=0$ ;

(2) $\lim_ {x\to-1}f(x)=-1$ ;

(3) $\lim_ {x\to 0}f(x)$ 不存在，因为左极限是-1，右极限是1.

2.对图1-9所示的函数 $f(x)$ ,下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？

(1) $\lim_{x\to 0}f(x)$ 不存在；

(2) $\lim_{x\to 0}f(x)=0$ ;

(3) $\lim_{x\to 0}f(x)=1$ ;

(4) $\lim_{x\to 1}f(x)=0$ ;

(5) $\lim_{x\to 1}f(x)$ 不存在。

(6)对每个 $x_0\in (-1,1)$ , $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在。

解：(1)错，存在极限值为0.

(2)对。

(3)错误。函数极限与函数取值无关。

(4)错误，左极限是-1，右极限是0.

(5)对。

(6)对。

3.对图1-10所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错误的？

(1) $\lim_{x\to -1^+}f(x)=1$ ；

(2) $\lim_{x\to -1^-}f(x)$ 不存在；

(3) $\lim_{x\to 0}f(x)=0$ ;

(4) $\lim_{x\to 1}f(x)=1$ ;

(5) $\lim_{x\to 1^-}f(x)=1$ ；

(6) $\lim_{x\to 1^+}f(x)=0$ ；

(7) $\lim_{x\to 2^-}f(x)=0$ ；

(8) $\lim_{x\to 2}f(x)=0$ 。

解：(1)对。

(2)对。

(3)对。

(4)错。

(5)对。

(6)对。

(7)对。

(8)错。

4.求 $f(x)=\frac{x}{x}$ , $\varphi(x)=\frac{|x|}{x}$ 当 $x\to 0$ 时的左、右极限，并说明它们在 $x \to 0$ 是的极限是否存在。

解： $\lim_{x \to 0 ^-} \frac {x}{x}=1$ , $\lim_{x \to 0 ^+} \frac {x}{x}=1$ ,所以

$\lim_{x \to 0} \frac {x}{x}=1$ 。

然而 $\lim_{x \to 0 ^-} \frac {|x|}{x}=\lim_{x \to 0 ^-} \frac {-x}{x}=-1$ ， $\lim_{x \to 0 ^+} \frac {|x|}{x}=\lim_{x \to 0 ^-} \frac {x}{x}=1$ ,所以在 $x \to 0$ 是的极限不存在。

5.根据函数极限的定义证明：

(1) $\lim_{x\to 3}(3x-1)=8$ ;

(2) $\lim_{x\to 2}(5x+2)=12$ ;

(3) $\lim_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2}=-4$ ;

(4) $\lim_{x\to -\frac{1}{2}}\frac{1-4x^2}{2x+1}=2$ .

解：(1)证明：对于任意小的 $\epsilon>0$ ,欲使得 $|f(x)-A|=$ $\underline{|3x-1-8|=3|x-3|}$ $<\epsilon$ 成立，只需 $\underline{|x-3|<{\frac{\epsilon}{3}}}$ 即可。故取 $\delta=$ $\underline{\frac{\epsilon}{3}}$ .于是对于任意小的 $\epsilon>0$ ，总存在 $\delta=$ $\underline{\frac{\epsilon}{3}}$ ,当 $\underline{0<|x-3|<\delta}$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 恒成立，即该极限收敛。

(2)证明：对于任意小的 $\epsilon>0$ ,欲使得 $|f(x)-A|=$ $\underline{|5x+2-12|=5|x-2|}$ $<\epsilon$ 成立，只需 $\underline{|x-2|<{\frac{\epsilon}{5}}}$ 即可。故取 $\delta=$ $\underline{\frac{\epsilon}{5}}$ .于是对于任意小的 $\epsilon>0$ ，总存在 $\delta=$ $\underline{\frac{\epsilon}{5}}$ ,当 $\underline{0<|x-2|<\delta}$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 恒成立，即该极限收敛。

(3)证明：对于任意小的 $\epsilon>0$ ,欲使得 $|f(x)-A|=$ $\underline{|\frac{x^2-4}{x+2}-(-4)|=|x-(-2)|}$ $<\epsilon$ 成立，只需 $\underline{|x-(-2)|<\epsilon}$ 即可。故取 $\delta=$ $\underline{\epsilon}$ .于是对于任意小的 $\epsilon>0$ ，总存在 $\delta=$ $\underline{\epsilon}$ ,当 $\underline{0<|x-(-2)|<\delta}$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 恒成立，即该极限收敛。

(4)证明：对于任意小的 $\epsilon>0$ ,欲使得 $|f(x)-A|=$ $\underline{|\frac{1-4x^2}{2x+1}-2|=|2x+1|}$ $<\epsilon$ 成立，只需 $\underline{2|x-(-\frac{1}{2})|<\epsilon}$ 即可。故取 $\delta=$ $\underline{\frac {\epsilon}{2}}$ .于是对于任意小的 $\epsilon>0$ ，总存在 $\delta=$ $\underline{\frac {\epsilon}{2}}$ ,当 $\underline{0<|x-(-\frac{1}{2})|<\delta}$ 时有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 恒成立，即该极限收敛。

6.根据极限定义证明：
(1) $\lim_{x\to \infty}\frac{1+x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}$ ;
(2) $\lim_{x\to +\infty}\frac{sinx}{\sqrt x}=0$ 。

证明：(1)对于任意小的 $\epsilon>0$ ,欲使得 $|f(x)-A|=$ $\underline{|\frac{1+x^3}{2x^3}-\frac{1}{2}|=\frac{1}{|2x^3|}}$ $<\epsilon$ 成立，只需 $\underline{|x|>{\frac{1}{\sqrt[3]{2\epsilon}}}}$ 即可。故取 $M=$ $\underline{\frac{1}{\sqrt [3]{2\epsilon}}}$ .于是对于任意小的 $\epsilon>0$ ，总存在 $M=$ $\underline{\frac{1}{\sqrt [3]{2\epsilon}}}$ ,当 $\underline{|x|>M}$ 时,有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 恒成立，即该极限收敛。

(2)对于任意小的 $\epsilon>0$ ,欲使得 $|f(x)-A|=$ $\underline{|\frac{sinx}{\sqrt x}-0|=|\frac{sinx}{\sqrt x}}|$ $<\epsilon$ 成立，只需……即可。

晕啊，不好计算 $\epsilon$ 关系了，此时需要放缩一下，不要搞乱符号的方向。再来一次。

对于任意小的 $\epsilon>0$ ,欲使得 $|f(x)-A|=$ $\underline{|\frac{sinx}{\sqrt x}-0|=|\frac{sinx}{\sqrt x}}|$ $<|\frac{1}{\sqrt{x}}|<\epsilon$ 成立，只需 $x>\frac{1}{\epsilon^2}$ 即可。故取 $M=$ $\underline{\frac{1}{\epsilon^2}}$ .于是对于任意小的 $\epsilon>0$ ，总存在 $M=$ $\underline{\frac{1}{\epsilon^2}}$ ,当 $\underline{x>M}$ 时,有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 恒成立，即该极限收敛。

后续节中会学习到一个新的方法，有界量与无穷小量之积仍是无穷小。就是直接计算出极限。但本题要求是用极限定义证明。

7.当 $x\to 2$ 时， $y=x^2\to 4$ 。问 $\delta$ 等于多少，使当 $|x-2|<\delta$ 时， $|y-4|<0.001$ ?

解：不妨假设 $|x-2|<1$ ,此时 $x$ 介于1到3之间，等一下会用到。其实假设小于多少都可以，但是一般不假设很大的数，因为是趋向于2的。这一步的目的是为了后续的求解数字。根据所假设不同求出的答案也不同。

开始解答：要想使得 $|y-4|=|x^2-4|<0.001$ ,就相当于要 $|x^2-4|=|(x-2)(x+2)|<5|x-2|<0.001$ ，即 $|x-2|<\frac {0.001}{5}$ 。哇，这个 $\frac{0.001}{5}$ 不就是上面那个 $\delta$ 吗。

8.当 $x\to \infty$ 时， $y=\frac{x^2-1}{x^2+3}\to 1$ ，问 $X$ 等于多少，使当 $|x|>X$ 时， $|y-1|<0.01$ ?

解：要想使得 $|y-1|=|\frac{x^2-1}{x^2+3}-1|=\frac{4}{x^2+3}<\frac{4}{x^2}<0.01$ ，即 $x^2>\frac{4}{0.01}$ ，得到 $|x|>20$ ,这个20刚好就是上面所求的 $X$ .

9.证明函数 $f(x)=|x|$ 当 $x \to 0$ 时的极限为0.

证明：对于任意小的 $\epsilon>0$ ,欲使得 $|f(x)-A|=$ $\underline{||x|-0|=|x|}$ $<\epsilon$ 成立，只需 $\underline{|x|<\epsilon}$ 即可。故取 $\delta=$ $\underline{\epsilon}$ .于是对于任意小的 $\epsilon>0$ ，总存在 $\delta=$ $\underline {\epsilon}$ ,当 $\underline{0<|x|<\delta}$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 恒成立，即该极限收敛。

10.证明：若 $x\to +\infty$ 及 $x\to -\infty$ 时，函数 $f(x)$ 的极限都存在且都等于 $A$ ,则 $\lim_{x\to\infty}=A$ 。

证明： $\lim_{x\to +\infty}f(x)=A$ ，等价于对于任意小的 $\epsilon>0$ ,存在 $M_1>0$ ，当 $x>M_1$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立。

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=A$ ，等价于对于任意小的 $\epsilon>0$ ,存在 $M_2>0$ ，当 $x<-M_2$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立。

取 $M=max{M_1,M_2}$ ,于是当 $|x|>M$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立。此时就已经满足了 $\lim_{x\to\infty}=A$ 成立的条件。

11.根据函数极限的定义证明：函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。

证明：先证明必要性。如果 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ ，说明对于任意小的 $\epsilon>0$ ,存在 $\delta>0$ ，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立。即：当 $0<x-x_0<\delta$ 时有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立，右极限存在。或 $0<x_0-x<\delta$ 时，也有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立，左极限存在。

充分性。如果左极限存在，说明对于任意小的 $\epsilon>0$ ,存在 $\delta_1>0$ ，当 $0<x_0-x<\delta_1$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立。如果右极限存在，说明对于任意小的 $\epsilon>0$ ,存在 $\delta_2>0$ ，当 $0<x-x_0<\delta_2$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立。取 $\delta=min\{\delta_1,\delta_2\}$ ，则当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立。

12.试给出 $x\to \infty$ 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明。

证明：如果 $\lim_{x\to\infty}f(x)=A$ ，即对于任意小的 $\epsilon>0$ ,存在 $M>0$ ，当 $|x|>M$ 时，有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立。为说明方便，不妨设 $\epsilon=1$ ,则 $|f(x)|<|f(x)-A|+|A|<1+|A|$ ，记 $M=1+|A|$ 。定理得证。

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