矩阵、虚数与坐标变换

2020-07-21 本文已影响0人 yumxuanyi

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关键字：矩阵、虚数、坐标变换

一个矩阵可以表示的坐标变换类型包括：旋转、缩放、平移
一个虚数也可以表示：旋转和缩放
这样矩阵和虚数具有相同的功能：都可以进行坐标的旋转的缩放。

矩阵

我们来考虑矩阵
$M = \left[ \begin{matrix} 1 &0\\ 0& 1\\ \end{matrix} \right] = 1$

$N =\left[ \begin{matrix} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] = i$

可以将矩阵M和N的列理解为新坐标系的坐标基。则
M表示对标准笛卡尔坐标系不进行任何变换。
N表示对标准笛卡尔坐标系逆时针旋转90度
$a *M = \left[ \begin{matrix} a &0\\ 0& a\\ \end{matrix} \right] = a$
a*M,表示 x，y方向同时进行放大a倍

$b *N = \left[ \begin{matrix} 0 &-b\\ b& 0\\ \end{matrix} \right] = bi$
b*N,表示绕原点旋转90度然后再缩放b倍

$K =\left[ \begin{matrix} a & -b\\ b & a\\ \end{matrix} \right] = a * \left[ \begin{matrix} 1 &0\\ 0& 1\\ \end{matrix} \right] + b * \left[ \begin{matrix} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] = a + bi$
K表示绕原点旋转 θ度，其中 $\tan(θ)$ = b/a
再缩放 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 倍

所以如果只需要旋转θ度，可以利用三角函数，构造如下矩阵S
$S =\left[ \begin{matrix} cos(θ) & -sin(θ)\\ sin(θ) & cos(θ)\\ \end{matrix} \right] = cos(θ) + sin(θ) * i$
因为缩放倍数 $\sqrt{sin^2(θ) + cos^2(θ)}$ = 1

扩展：
神奇的欧拉公式：
e^(θi) = cos(θ) + sin(θ) * i
表示旋转θ角

虚数

考虑坐标系中的单位圆
如果虚数为i，则有
1 * i = i
i * i = -1
i* (-1) = -i
(-i) * i= 1
即乘以i的意义相当于,绕坐标原点逆时针旋转90度
也就是i与如下矩阵N具有相同的意义
$N =\left[ \begin{matrix} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] = i$

对于一个虚数bi ，就是沿着虚轴缩放b倍,等效于如下矩阵表示
$bi =b * \left[ \begin{matrix} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & -b\\ b & 0\\ \end{matrix} \right]$

矩阵、虚数与坐标变换

矩阵

虚数

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