数学分析理论基础18：高阶导数

2019-01-27 本文已影响23人溺于恐

高阶导数

二阶导数

定义：若函数f的导函数f'在点 $x_0$ 可导,则称f'在点 $x_0$ 的导数为f在点 $x_0$ 的二阶导数,记作 $f''(x_0)$ ,同时称f在点 $x_0$ 二阶可导 $f''(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}{f'(x)-f'(x_0)\over x-x_0}$

若f在区间I上每一点都二阶可导,则得到一个定义在I上的二阶导函数,记作 $f''(x),x\in I$ ,简记作f''

高阶导数

1.一般地,可由f的n-1阶导函数定义f的n阶导函数(n阶导数)

2.二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数

3.函数f在点 $x_0$ 处的n阶导数记作 $f^{(n)}(x_0)$ , $y^{(n)}|_{x=x_0}$ 或 ${d^ny\over dx^n}|_{x=x_0}$ ,相应地n阶导函数记作 $f^{(n)}$ , $y^{(n)}$ 或 ${d^ny\over dx^n}$ ,其中 ${d^ny\over dx^n}$ 可写作 ${d^n\over dx^n}y$ ,表示对y相继进行n次求导运算 ${d\over dx}$ 的结果

例：求幂函数 $y=x^n(n\in Z_+)$ 的各阶导数

解：

$y'=nx^{n-1}$

$y''=n(n-1)x^{n-2}$

$\cdots$

$y^{(n-1)}=(y^{(n-2)})'=n(n-1)\cdots 2x$

$y^{(n)}=(y^{(n-1)})'=(n(n-1)\cdots 2x)'=n!$

$y^{(n+1)}=y^{(n+2)}=\cdots=0$

例：求y=sinx和y=cosx的各阶导数

解：

$y'=cosx=sin(x+{\pi\over 2})$

$y''=-sinx=sin(x+2\cdot{\pi\over 2})$

$y'''=-cosx=sin(x+3\cdot{\pi\over 2})$

$y^{(4)}=sinx=sin(x+4\cdot{\pi\over 2})$

$\cdots$

$y^{(n)}=sin(x+n\cdot{\pi\over 2}),n\in N_+$

$类似地有$

$cos^{(n)}=cos(x+n\cdot{\pi\over 2}),n\in N_+$

运算法则

一阶导数的运算法则可直接移植到高阶导数

$[u\pm v]^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$

乘法求导法则(莱布尼兹公式)

设y=uv,则

$y'=u'v+uv'$

$y''=(u'v+uv')'=u''v+2u'v'+uv''$

$y'''=(u''v+2u'v'+uv'')'=u'''v+3u''v'+3u'v''+uv'''$

$由数学归纳法$

$(uv)^{(n)}=u^{(n)}v^{(0)}+C_n^1u^{(n-1)}v^{(1)}+C_n^2u^{(n-2)}v^{(2)}+\cdots$

$+C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots+u^{(0)}v^{(n)}$

$=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$

例：设 $y=x^2e^x$ ,求 $y^{(n)}$

解：

$由莱布尼兹公式$

$y^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^nC_n^k(x^2)^{(k)}(e^x)^{(n-k)}$

$=x^2e^x+2nxe^x+n(n-1)e^x$

$=e^x(x^2+2nx+n(n-1))$

例：设 $y=e^xsinx$ ,求 $y^{(n)}$

$y'=e^xsinx+e^xcosx=\sqrt{2}e^xsin(x+{\pi\over 4})$

$y''=\sqrt{2}[e^xsin(x+{\pi\over 4})+e^xcos(x+{\pi\over 4})]$

$=(\sqrt{2})^2e^xsin(x+2\cdot {\pi\over 4})$

$\cdots$

$由归纳法$

$y^{(n)}=(\sqrt{2})^ne^xsin(x+n\cdot {\pi\over 4})$

例：求 $\begin{cases}x^2\qquad x\ge 0\\-x^2\qquad x\lt 0\end{cases}$ 的高阶导数

解：

$x\ge 0时,f'(x)=2x,f''(x)=2,f^{(k)}\equiv 0(k\ge 3)$

$x\lt 0时,f'(x)=-2x,f''(x)=-2,f^{(k)}\equiv 0(k\ge 3)$

$x=0时,f'_+(0)=f'_-(0)=0$

$n\ge 2时,f^{(n)}(0)不存在$

$整理后得$

$f'(x)=\begin{cases}2x\qquad x\gt 0\\0\qquad x=0\\-2x\qquad x\lt 0\end{cases}$

$f''(x)=\begin{cases}2\qquad x\gt 0\\不存在\qquad x=0\\-2\qquad x\lt 0\end{cases}$

$n\ge 3时,f^{(n)}=0(x\neq 0)$

$f^{(n)}(0)不存在$

参量方程二阶导

设 $\varphi,\psi$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上二阶可导,则由参量方程 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$ 所确定的函数一阶导数 ${dy\over dx}={\psi'(t)\over \varphi'(t)}$

其参量方程为 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\{dy\over dx}={\psi'(t)\over \varphi'(t)}\end{cases}$

${d^2y\over dx^2}={d\over dx}({dy\over dx})$

$={{d\over dt}({\psi'\over \varphi'})\over {dx\over dt}}$

$={({\psi'(t)\over \varphi'(t)})'\over \varphi'(t)}$

$={\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)\over [\varphi'(t)]^3}$

例：求由摆线参量方程 $\begin{cases}x=a(t-sint)\\y=a(1-cost)\end{cases}$ 所确定的函数 $y=y(x)$ 的二阶导数

解：

${dy\over dx}={(a(1-cost))'\over (a(t-sint))'}={sint\over 1-cost}$

$={2sin{t\over 2}cos{t\over 2}\over 1-(1-2sin^2{t\over 2})}=cot{t\over 2}$

${d^2y\over dx^2}={(cot{t\over 2})'\over (a(t-sint))'}={-{1\over 2}csc^2{t\over 2}\over a(1-cost)}$

$={-{1\over 2}csc^2{t\over 2}\over a(1-1+2sin^2{t\over 2})}=-{1\over 4a}csc^4{t\over 2}$

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