正态总体抽样分布的几个定理

2018-11-06 本文已影响0人 Moe丶Yui

若随机变量X~N(μ，σ^2)，X1,X2,X3...,Xn为其独立样本，则有：

1. $\bar{X} 服从 N(\mu ，\sigma ^2/n )$

2. $(n-1)S^2/\sigma^2 服从 \chi ^2(n-1)$

3. $\bar{X} 和 S^2 独立$

证明过程简述：

1. 直接使用期望的计算公式即可.

2. 将样本看做是一个整体，S^2=E(X^2)-(E(X))^2。构造正交变换阵，令Y=AX，将左式消去X1，,左式成为n-1个服从标准正态随机变量的平方和，故是自由度n-1的卡方分布。

3.在正交变换时，样本均值和方差分别由独立的1个随机变量和n-1个随机变量决定，故而两者相互独立。