有心力问题（12）：二体散射问题——质心与实验室参考系的变换

2020-02-03 本文已影响0人有限与微小的面包

散射问题通常属于二体问题，但与之前的一体问题的约化不同，散射问题中从实验室参考系到质心系的转换并非简单的将粒子质量 $m$ 替换为约化质量 $\mu$ 那么简单。

$\bullet$ 在有心力问题（11）中，我们将二体散射问题约化为了一体体系，所以使用的实际是质心参考系。

（1）对于质心参考系，散射角度 $\Theta$ 是入射粒子和目标粒子的初始相对矢量与散射后的最终相对矢量之间的夹角。

（2）在实验室参考系中，散射角度 $\vartheta$ 被定义为在实验系坐标下散射粒子的入射速度方向与散射速度方向的夹角。

$\bullet$ 角度 $\Theta$ 与 $\vartheta$ 通常不相等，所以从质心参考系下的等效一体散射问题并不能直接得到实验室参考系的散射角度 $\vartheta$ 。只有当第二个粒子在碰撞前后始终处于静止状态，两个角度才相等。

$\bullet$ 考虑质心参考系下的散射，

根据质心的定义， $\mathbf{R} = \frac{\sum_i m_i\mathbf{r}_i}{\sum_i m_i}$ ，将坐标系放在质心

$\sum_i m_i\mathbf{r}_i = \mathbf{0} \implies \sum_i \mathbf{p}_i = \mathbf{0}$

线动量之和为零，两粒子总是以等大反向的线动量运动。所以如下图所示，在质心参考系中，散射后的两粒子必然以完全相反的方式远离彼此，这时，对于粒子双方，散射角度都是相同的。

$\bullet$ 角度 $\Theta$ 与 $\vartheta$ 之间的关系可通过考虑从质心系到实验室系的变换得到。但在此之前，我们首先需要引入几个有用的量：

1）在实验室参考系下入射粒子 $m_1$ 的位置矢量 $\mathbf{r}_1$ 和其速度矢量 $\mathbf{v}_1$ 。

2）在质心参考系下入射粒子 $m_1$ 的位置矢量 $\mathbf{r}^{\prime}_1$ 和其速度矢量 $\mathbf{v}^{\prime}_1$ 。

3）在实验室参考系下的质心矢量 $\mathbf{R}$ 和其速度矢量 $\mathbf{V}$ 。

若质心速度矢量与入射粒子的初始速度矢量平行，它们的几何关系则如下图所示：

根据定义，

$\mathbf{r}_1 = \mathbf{R} + \mathbf{r}_1^{\prime}$

$\mathbf{v}_1 = \mathbf{V} + \mathbf{v}_1^{\prime}$

在实验室参考系下，如果目标粒子处于静止，而入射粒子具有初速度 $v_0$ ，那么入射粒子在质心参考系将同样具有初速度 $v_0$ 。

由于线动量守恒，有

$m_1 v_0 = (m_1 + m_2)V$ ，约化质量 $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ ，所以有 $\boxed{V = \frac{\mu}{m_2}v_0}$

根据上图，可以得到几何关系：

$v_1\sin\vartheta = v_1^{\prime}\sin\Theta$

$v_1\cos\vartheta = v_1^{\prime}\cos\Theta + V = v_1^{\prime}\cos\Theta + \frac{\mu}{m_2}v_0$

于是

$\tan\vartheta = \frac{v_1^{\prime}\sin\Theta}{v_1^{\prime} \cos\Theta + (\mu/m_2)v_0 }$

利用定义 $\rho \equiv \frac{\mu}{m_2 }\frac{v_0}{v_1^{\prime}}$ ，可以得到：

$\boxed{\tan\vartheta = \frac{\sin\Theta}{\cos\Theta + \rho}}$

要得到另一个角度之间关系，需要先将图中矢量 $\mathbf{v}_1$ 向左平移至与矢量 $\mathbf{V}$ 的末尾相接，然后新构成的外接三角形中使用余弦定理：

$\begin{align*}v_1^2 &= (v_1^{\prime})^2 + V^2 - 2v_1^{\prime}V\cos(\pi - \Theta)\\&= (v^{\prime}_1)^2 + V^2 + 2v_1^{\prime}V\cos\Theta\end{align*}$

然后利用这四个已得的重要关系式：

1） $V = \frac{\mu}{m_2}v_0$

2） $v_1\cos\vartheta = v_1^{\prime}\cos\Theta + \frac{\mu}{m_2} v_0$

3） $\rho = \frac{\mu}{m_2}\frac{v_0}{v_1^{\prime}}$

4） $v_1^2 = (v^{\prime}_1)^2 + V^2 + 2v_1^{\prime}V\cos\Theta$

首先解关系2）中的 $\cos\vartheta$ ：

$\cos\vartheta = \frac{v_1^{\prime}}{v_1}\cos\Theta + \frac{\mu }{m_2 }\frac{v_0}{v_1}$

将关系1）代入关系4），求解：

$\begin{align*}v_1 &= \sqrt{(v_1^{\prime})^2 + \left(\frac{\mu}{m_2}\right)^2v_0^2 + 2v_1^{\prime} \frac{\mu}{m_2} v_0 \cos\Theta}\\&= v_1^{\prime}\sqrt{1 + \rho^2 + 2\rho\cos\Theta}\end{align*}$

$\implies \frac{v_1^{\prime}}{v_1} = \frac{1}{\sqrt{1 + \rho^2 + 2\rho\cos\Theta}}$

再代入上一步即可得到第二个角度关系：

$\boxed{\cos\vartheta = \frac{\cos\Theta + \rho}{\sqrt{1 + \rho^2 + 2\rho\cos\Theta}}}$

$\bullet$ 从上面得到的两个关系都含有比例系数 $\rho$ ，根据质心的定义

$\mathbf{R} = \frac{m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2}{m_1 + m_2}$

质心系和实验室系的变换为： $\mathbf{r}_1^{\prime} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{R}$

而 $\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2$

有 $\mathbf{R} = \frac{m_1(\mathbf{r} + \mathbf{r}_2) + m_2\mathbf{r}_2}{m_1 + m_2} \implies \mathbf{R} = \mathbf{r}_2 + \frac{m_1}{m_1 + m_2 }\mathbf{r}$

代入变换方程：

$\mathbf{r}_1^{\prime} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 - \frac{m_1}{m_1 + m_2}\mathbf{r} = \frac{m_2}{m_1 + m_2 }$

$\implies \boxed{r_1^{\prime} = \frac{\mu}{m_1}r}$

速度：

$\boxed{v_1^{\prime} = \frac{\mu}{m_1}v}$

所以系数

$\rho = \frac{\mu}{m_2 }\frac{v_0}{v_1^{\prime} } = \boxed{\frac{m_1}{m_2} \frac{v_0}{v}}$

其中“ $v$ ”是碰撞后两个粒子的相对速率。

$\bullet$ 对于弹性碰撞，如果不管是在质心系还是实验室系，第二个微粒在碰撞前都保持静止，入射粒子的初始速度将等于碰撞后两粒子的相对速度，即 $v_0 = v$ 。

所以对于弹性碰撞(elastic collision):

$\boxed{\rho = \frac{m_1}{m_2}}$

系数将完全不依赖粒子的速度或是能量。

$\bullet$ 对于非弹性碰撞，粒子的部分动能将转化为自身内部的激发能。然而，如果算上这一部分转化的能量，总能量和线动量依然守恒：

$\frac{\mu v^2 }{2} = \frac{\mu v_0^2 }{2} + Q$

$Q$ 是非弹性碰撞的Q值(Q value of inelastic collision)，它在大小上是个负数。

于是比值

$\frac{v}{v_0} = \sqrt{1 + \frac{m_1 + m_2}{m_2}\frac{Q}{E}}$

其中 $E = \frac{1}{2}m_1v_0^2$ ，是入射粒子所具有的能量。

所以，对于非弹性碰撞(inelastic collision)：

$\boxed{\rho = \frac{m_1}{m_2}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{m_1 + m_2}{m_2 }\frac{Q}{E}}}}$

$\bullet$ 微分截面的值则取决于 $\sigma$ 与角度的依赖关系。截面 $\sigma(\vartheta)$ 与截面 $\sigma(\Theta)$ 的函数关系可根据下面的关系得到：

$2\pi\sigma(\Theta)\sin\Theta\left|d\Theta\right|I = 2\pi\sigma^{\prime}(\vartheta)\sin\vartheta\left|d\vartheta\right|I$

即不管使用角度 $\Theta$ 还是 $\vartheta$ 进行测量，散射进入某个确定方向的立体角的粒子个数都应相等。

于是

$\sigma^{\prime}(\vartheta) =\sigma(\Theta)\frac{\sin\Theta}{\sin\vartheta}\left|\frac{d\Theta}{d\vartheta}\right| =\sigma(\Theta)\left|\frac{d\cos\Theta}{d\cos\vartheta}\right|$

从之前得到的两角度余弦值的关系：

$\cos\vartheta = \frac{\cos\Theta + \rho}{\sqrt{1 + \rho^2 + 2\rho\cos\Theta}}$

可以得到

$\left|\frac{d\cos\Theta}{d\cos\vartheta}\right| = \frac{(1 + 2\rho\cos\Theta + \rho^2)^{3/2}}{1 + \rho\cos\Theta}$

$\implies \boxed{\sigma^{\prime}(\vartheta) = \sigma(\Theta)\frac{(1 + 2\rho\cos\Theta + \rho^2)^{3/2}}{1 + \rho\cos\Theta}}$

该表达式中的两个角度均是在实验室参考系测量。

$\bullet$ 当粒子的质量相等时（ $\rho = 1$ ），散射角度将呈现一个尤其简单的关系：

$\cos\vartheta = \frac{\cos\Theta +1}{\sqrt{2 + 2\cos\Theta}} = \sqrt{\frac{1 + \cos\Theta}{2}} = \cos\frac{\Theta}{2}$

$\implies \boxed{\vartheta = \frac{\Theta}{2}\quad (\rho = 1)}$

可见，此时在实验室参考系下的散射角 $\vartheta$ 不能大于 $\frac{\pi}{2}$ ，所有的散射均位于前方的半球内。

相应的两个散射截面的关系为：

$\sigma^{\prime}(\vartheta) = \sigma(\Theta) \cdot \frac{(2 + 2\cos\Theta)^{3/2}}{1 + \cos\Theta} = 4\cos\vartheta \cdot \sigma(\Theta), \quad \vartheta = \frac{\Theta}{2}\le \frac{\pi}{2}$

如果此时的散射具有各向同性（不依赖 $\Theta$ ），微分截面 $\sigma^{\prime}(\vartheta)$ 关于散射角 $\vartheta$ 的变化情况将与余弦函数一至。

$\bullet$ 当目标粒子的质量远远大于入射粒子时（ $m_2 >\!> m_1$ ）， $\rho \approx 0$ ，则 $\sigma^{\prime}(\vartheta) \approx \sigma(\Theta)$ 。

$\bullet$ 即便是弹性碰撞的情况，虽然线动量和能量守恒，仍然存在能量转移的过程。与一个初始静止的目标粒子的碰撞将导致入射粒子所携带的能量减少。

能量的减少程度可通过下列关系推导：

1） $v_1^2 = (v_1^{\prime})^2 + V^2 + 2v_1^{\prime}V\cos\Theta$

2） $V = \frac{\mu}{m_2}v_0$

3） $v_1^{\prime} = \frac{\mu}{m_1}v$

4） $\rho = \frac{\mu}{m_2 }\frac{v_0}{v_1^{\prime} } = \frac{m_1}{m_2}\frac{v_0}{v}$

一些代数操作后可以得到：

$\boxed{\frac{v_1^2}{v_0^2} = \left(\frac{\mu}{m_2\rho}\right)^2(1 + \rho^2 + 2\rho\cos\Theta )}$

$\bullet$ 对于弹性碰撞， $\rho = \frac{m_1}{m_2}$ ，上述关系可被进一步写为：

$\begin{align*}\frac{(1/2) mv_1^2}{(1/2)mv_0^2 } &= \frac{E_1}{E_0} = \left(\frac{\mu}{m_1}\right)^2\left[1 + \left(\frac{m_1}{m_2}\right)^2 + 2\frac{m_1}{m_2}\cos\Theta \right]\\&= \frac{1 + 2\rho\cos\Theta + \rho^2}{(1 + \rho)^2}\end{align*}$

其中 $E_0$ 是入射粒子的初始能量， $E_1$ 是入射粒子碰撞之后的能量。

若发生碰撞的两粒子质量相等（ $m_1 = m_2$ ），则有

$\frac{E_1}{E_0} = \frac{1 + \cos\Theta }{2} = \cos\vartheta$

在最大散射角度 $\vartheta = \frac{\pi}{2},\quad \Theta = \pi$

$\frac{E_1}{E_0} = \cos\frac{\pi}{2} = 0$

在实验室系，入射粒子将会失去所有能量，从而被完全停止下来。

$\bullet$ 散射过程中导致的动能转移是热中子反应堆中减速剂(moderator)的基本原理。我们知道，由核裂变产生的高能中子在进行数次连续碰撞后，动能会被减少为单纯的热能，此时的中子才更容易在反应链中继续裂变而不至于被其他核子捕获。根据刚才的关系式，为了完全将中子阻止，减速剂中的元素该是越轻越有效的，所以人们很自然地考虑到了氢元素。在一般的实验室里，氢很难作为单质被作为减速剂使用，所以人们常常使用的是含有氢元素的混合物或者化合物。比如最常见的水，就是比较良好的中子减速剂。