高中奥数 2022-03-13

2022-03-13 本文已影响0人不为竞赛学奥数

变量代换是数学中常用的解题方法之一,将一个较复杂的式子视为一个整体,用一个字母去代换它,从而使复杂问题简单化.有时候,有些式子可以用三角换元,从而使问题简化.当问题的条件或结论中出现“ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ,、 $x^{2}+y^{2}\leqslant r^{2}$ ”、 $\sqrt{r^{2}-x^{2}}$ ”或“ $\left|x\right|\leqslant 1$ ”等形式时,可以考虑用“ $\sin \alpha$ ”与“ $\cos \alpha$ ”代换;当问题的条件或结论中出现“ $\sqrt{r^{2}+x^{2}}$ ”、“ $\sqrt{x^{2}-r^{2}}$ ,形式时,可作“ $x=r\tan \alpha$ ”或“ $x=r\sec \alpha$ ”代换等.在作代换时,要特别注意 $\alpha$ 的取值范围是由原变量 $x$ 的取值范围所决定的.

2022-03-13-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P044 例01）

已知 $0^{\circ}\leqslant \alpha\leqslant 90^{\circ}$ ,求证:
$2\leqslant \sqrt{5-4\sin \alpha}+\sin \alpha\leqslant \dfrac{9}{4}.$
证明

令 $x=\sqrt{5-4\sin \alpha}$ ,则 $\sin \alpha=\dfrac{5-x^{2}}{4}$ ,由于 $0\leqslant \sin \alpha\leqslant 1$ ,所以 $1\leqslant x\leqslant \sqrt{5}$ .令
$\begin{aligned} y &=\sqrt{5-4 \sin \alpha}+\sin \alpha \\ &=x+\dfrac{5-x^{2}}{4} \\ &=-\dfrac{1}{4}(x-2)^{2}+\dfrac{9}{4}, \end{aligned}$
由 $1\leqslant x\leqslant \sqrt{5}$ 便知 $2\leqslant y\leqslant\dfrac{9}{4}$ 从而
$2\leqslant \sqrt{5-4\sin \alpha}+\sin \alpha\leqslant \dfrac{9}{4}.$
说明本题中令 $x=\sqrt{5-4\sin \alpha}$ ,可以使式子变成容易处理的二次函数形式,从而获得解决.

2022-03-13-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P044 例02）

已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x^{2}+y^{2}-4x-6y+9=0$ ,求证:
$19\leqslant x^{2}+y^{2}+12x+6y\leqslant 99.$
证明

题设条件可化为
$\left(x-2\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=4,$
即 $\left(\dfrac{x-2}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y-3}{2}\right)^{2}=1$ .

令 $\dfrac{x-2}{2}=\cos \theta$ , $\dfrac{y-3}{2}=\sin \theta$ ,其中 $\theta\in \left[0,2\pi\right)$ ,所以
$\begin{aligned} & x^{2}+y^{2}+12 x+6 y \\ =&\left(4 x+6 y-9\right)+12 x+6 y \\ =& 16 x+12 y-9 \\ =& 16\left(2 \cos \theta+2\right)+12\left(2 \sin \theta+3\right)-9 \\ =& 32 \cos \theta+24 \sin \theta+59 \\ =& 8\left(4 \cos \theta+3 \sin \theta\right)+59 \\ =&40 \cos \left(\theta+\varphi\right)+59 \left(\text { 其中 } \tan \varphi=\dfrac{3}{4}\right), \end{aligned}$
而 $19\leqslant 40\cos \left(\theta+\varphi\right)+59\leqslant 99$ ,

所以 $19\leqslant x^{2}+y^{2}+12x\cdot \cdot +6y\leqslant 99$

2022-03-13-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P045 例03）

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是三角形的三边长,求证: $a^{2}b\left(a-b\right)+b^{2}c\left(b-c\right)+c^{2}a\left(c-a\right)\geqslant 0.$
证明

令 $a=y+z$ , $b=z+x$ , $c=x+y$ , $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ ,则欲证的不等式等价于
$\begin{aligned} &\left(y+z\right)^{2}\left(z+x\right)\left(y-x\right)+\left(z+x\right)^{2}\left(x+y\right)\left(z-y\right)+\left(x+y\right)^{2}\left(y+z\right)\left(x-z\right) \geqslant 0 \\ \Leftrightarrow &xy^{3}+yz^{3}+z x^{3} \geqslant x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2} \\ \Leftrightarrow &\dfrac{x^{2}}{y}+\dfrac{y^{2}}{z}+\dfrac{z^{2}}{x} \geqslant x+y+z. \end{aligned}$
因为 $\dfrac{x^{2}}{y}+y\geqslant 2x$ , $\dfrac{y^{2}}{z}+z\geqslant 2y$ , $\dfrac{z^{2}}{x}+x\geqslant 2z$ ,
所以 $\dfrac{x^{2}}{y}+\dfrac{y^{2}}{z}+\dfrac{z^{2}}{x}\geqslant x+y+z$ .

从而原不等式得证.

变量代换法说明在涉及到三角形三边长 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的不等式时,常常作代换 $a=y+z$ , $b=z+x$ , $c=x+y$ 其中 $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ .其实,如图所示, $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $\triangle ABC$ 的内切圆与边 $BC$ 、 $CA$ 、 $AB$ 的切点,令 $AE=AF=x$ , $BD=BF=y$ , $CD=CE=z$ ,则 $a=y+z$ , $b=z+x$ , $c=x+y$ .通过代换,关于 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的不等式就转化为关于正实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的不等式了.

表1

2022-03-13-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P046 例04）

设 $a,b,c,d\in \mathbb{R}^{+}$ ,且
$\dfrac{a^{2}}{1+a^{2}}+\dfrac{b^{2}}{1+b^{2}}+\dfrac{c^{2}}{1+c^{2}}+\dfrac{d^{2}}{1+d^{2}}.=1.$
求证: $abcd\leqslant \dfrac{1}{9}$ .

证明

令 $a=\tan \alpha$ , $b=\tan \beta$ , $c=\tan \gamma$ , $d=\tan \delta$ . $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ .于是 $\sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}\beta+\sin ^{2}\gamma+\sin ^{2}\delta=1$ .所以
$3\cdot \sqrt[3]{\sin ^{2}\alpha\sin ^{2}\beta\sin ^{2}\gamma}\leqslant \sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}\beta+\sin ^{2}\gamma=\cos ^{2}\delta,$
$3\cdot \sqrt[3]{\sin ^{2}\alpha\sin ^{2}\beta\sin ^{2}\delta}\leqslant \sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}\beta+\sin ^{2}\delta=\cos ^{2}\gamma,$
$3\cdot \sqrt[3]{\sin ^{2}\alpha\sin ^{2}\gamma\sin ^{2}\delta}\leqslant \sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}\gamma+\sin ^{2}\delta=\cos ^{2}\beta,$
$3\cdot \sqrt[3]{\sin ^{2}\beta\sin ^{2}\gamma\sin ^{2}\delta}\leqslant \sin ^{2}\beta+\sin ^{2}\gamma+\sin ^{2}\delta=\cos ^{2}\alpha,$
上面四式相乘,得 $\tan ^{2}\alpha\tan ^{2}\beta\tan ^{2}\gamma\tan ^{2}\delta\leqslant \dfrac{1}{81}$ .

因此 $abcd=\tan \alpha\tan \beta\tan \gamma\tan \delta\leqslant \dfrac{l}{9}$ .

2022-03-13-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P046 例05）

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正实数,求
$\dfrac{a+3c}{a+2b+c}+\dfrac{4b}{a+b+2c}-\dfrac{8c}{a+b+3c}$
的最小值.

解

令
$\begin{cases} x=a+2b+c,\\ y=a+b+2c,\\ z=a+b+3c, \end{cases}$
则 $有x-y=b-c$ , $z-y=c$ ,由此可得
$\begin{cases} a+3c=2y-x,\\ b=z+x-2y,\\ c=z-y. \end{cases}$
从而
$\begin{aligned} & \dfrac{a+3 c}{a+2 b+c}+\dfrac{4 b}{a+b+2 c}-\dfrac{8 c}{a+b+3 c} \\ =& \dfrac{2 y-x}{x}+\dfrac{4(z+x-2 y)}{y}-\dfrac{8(z-y)}{z} \\ =&-17+2 \dfrac{y}{x}+4 \dfrac{x}{y}+4 \dfrac{z}{y}+8 \dfrac{y}{z} \\ \geqslant &-17+2 \sqrt{8}+2 \sqrt{32}\\ =&-17+12 \sqrt{2} . \end{aligned}$
上式中的等号可以成立.事实上,由上述推导过程知,等号成立,当且仅当平均不等式中的等号成立,而这等价于
$\begin{cases} 2 \dfrac { y } { x } = 4 \dfrac { x } { y } ,\\ 4 \dfrac { z } { y } = 8 \dfrac { y } { z } , \end{cases} \text { 即 } \begin{cases} y ^ { 2 } = 2 x ^ { 2 } ,\\ z ^ { 2 } = 2 y ^ { 2 } , \end{cases}\text { 即 } \begin{cases} y=\sqrt{2} x, \\ z=2 x, \end{cases}$
亦即
$\begin{cases} a+b+2c=\sqrt{2}\left(a+2b+c\right),\\ a+b+3c=2\left(a+2b+c\right). \end{cases}$
解该不定方程,得到
$\begin{cases} b=\left(1+\sqrt{2}\right)a,\\ c=\left(4+3\sqrt{2}\right). \end{cases}$
不难算出,对任何正实数 $a$ ,只要 $b=\left(1+\sqrt{2}\right)a$ , $c=\left(4+3\sqrt{2}\right)a$ ,就都有
$\dfrac{a+3c}{a+2b+c}+ \dfrac{4b}{a+b+2c}- \dfrac{8c}{a+b+3c}=-17+12\sqrt{2},$
所以所求的最小值为 $-17+12\sqrt{2}$ .

高中奥数 2022-03-13

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