【Unity编程】四元数(Quaternion)与欧拉角

2017-03-21 本文已影响138人 AndrewFan

欧拉旋转、四元数、矩阵旋转之间的差异

除了欧拉旋转以外，还有两种表示旋转的方式：矩阵旋转和四元数旋转。接下来我们比较它们的优缺点。

欧拉角

优点：三个角度组成，直观，容易理解。
优点：可以进行从一个方向到另一个方向旋转大于180度的角度。
弱点：死锁问题。前面《【Unity编程】欧拉角与万向节死锁（图文版）》已经介绍过万向节死锁问题。

四元数

内部由四个数字（在Unity中称为x，y，z和w）组成，然而这些数字不表示角度或轴，并且通常不需要直接访问它们。除非你特别有兴趣深入了解四元数学，你只需要知道四元数表示三维空间中的旋转，你通常不需要知道或修改x，y和z属性。

优点：四元旋转不存在万向节锁问题。
优点：存储空间小，计算效率高。
弱点：单个四元数不能表示在任何方向上超过180度的旋转。
弱点：四元数的数字表示不直观。

矩阵旋转

优点：与四元数一样，不存在万向节锁问题
优点：可以表示围绕任意轴的旋转，四元数的旋转轴均为通过物体中心点的轴，矩阵则不受限
缺点：矩阵旋转使用4x4矩阵，记录16个数值，而四元数只需要4个数值。计算复杂，效率低。

由于Unity中的旋转使用四元数，因此本文重点就放在四元数数学上。矩阵还是某些场合需要用到，比如坐标变换。不过你几乎不需要手动去执行矩阵计算，除非你在做Shader编程，或者是某些需要极端提高效率的场合。后续我计划写一篇文章专门介绍矩阵变换。

四元数的数学

由于前面两篇文章均尽可能采用无数字计算的方式，为的是方便理解。而这里由于需要理解四元数的计算，我们还是需要理解一些复数和欧拉旋转计算方面的基本数学。

复数

欧拉旋转定理

为了方便讨论旋转，我们避开矢量长度的影响，也就是假设问题是基于长度为1的矢量去讨论。由上图可以看出，当长度为1时，矢量落在长度为1的圆形上，此时实数轴上的a = cos（φ），虚数轴上的b = sin（φ），其中φ为旋转角度。

此时的表示形式为 e = cos（φ） + sin（φ）i

那么，使用这样一种形式到底有什么意义呢？数学从来都是工具，如果没有用处，它也就不会存在了。我们接下来看它的作用。

当圆上的一个矢量进行了连续的旋转时时，假设先旋转φ，再旋转θ，则结果应该是两个旋转的角的和的复数形式，即 e = cos（φ+θ）+sin（φ+θ）i

假设：
**e1= cos（φ） + sin（φ）i ** (表示旋转了φ角度)
e2= cos（θ） + sin（θ）i (表示旋转了θ角度)

那么e和e1、e2之间的关系是怎样的？

根据和差公式可以得知

cos（φ+θ）+sin（φ+θ）i
= （cos（φ）cos（θ）-sin（φ）sin（θ））+(sin（θ）cos（φ）+cos（θ）sin（φ）)i
= cos（φ）cos（θ）+cos（φ）sin（θ）i+cos（θ）sin（φ）i- sin（φ）sin（θ）
= (cos（φ） + sin（φ）i)*(cos（θ） + sin（θ）i)
= e1 * e2

e = e1*e2

也就是说，连续的旋转（例如这里旋转φ再旋转θ），可以使用两个复数的乘积进行表示。在计算机运算中：

如果知道φ=30度，那么计算此单位矢量再旋转θ=40度是很容易的，只需要直接运算cos（φ+θ）和sin（φ+θ）即可。
如果知道一个矢量(a+bi)，不知其φ值，要对其进行旋转θ=40度，那么也就有了快速的计算方法，即：
(a+bi) * (cos(40)+sin(40)i) = (a * cos(40)-b * sin(40)) + (b * cos(40) + a * sin(40))i
结果：二维向量 x = a * cos(40)-b * sin(40)，y= b * cos(40) + a * sin(40)
可以快速计算出二维矢量结果，而不必先求φ。

因此这就是复数和欧拉旋转定理的作用，它可以使用复数很方便地表示出二维矢量的旋转变化。

四元数

相对于复数为二维空间，为了解决三维空间的旋转变化问题，爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿把复数进行了推广，也就是四元数。

以下均为定义，所谓定义，就是我们人为设置的概念和计算方法，它们本身或许没有什么意义，但是如果按照这些概念和方法计算出某些有意义的结果，那么这些定义也就有了相应的意义。

四元数定义

四元数定义i、j、k三个虚数单位参与运算，并有以下运算规则：

i、j、k仍然理解为旋转，其中：

i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转
j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转
k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转
-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转

一个普通四元数可以写成如下形式：
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
$$\overline q=a+bi+cj+dk$$
</script>
四元数的i、j、k之间乘法的性质与向量之间的叉积结果形式很类似，于是四元数有了另外一种表示形式：
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
$$\overline q=(\vec{（x,y,z）},w)=(\vec u,w)$$
</script>

加法定义

四元数加法，跟复数、矢量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来，加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律：
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
$${\displaystyle \overline q_1+\overline q_2=w_1+w_2+{\vec {u_1}}+{\vec {u_2}}=(w_1+w_2)+(x_1+x_2)i+(y_1+y_2)j+(z_1+z_2)k}$$
</script>

格拉斯曼积定义

四元数的乘法有很多种，最常见的一种定义，与数学多项式乘法相同，称为格拉斯曼积。(注意，下面乘积的式子是由多项式形如a+bi+cj+dk的多项式进行多对多乘法(比如4项x4项=16项)计算后，使用矢量的点积和叉积替代部分计算项后形成)：
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
$$\overline q_1\overline q_2=w_1w_2-{\vec {u_1}}\cdot {\vec {u_2}}+w_1{\vec {u_2}}+w_2{\vec {u_1}}+{\vec {u_1}}\times {\vec {u_2}}$$
</script>
把向量部分和实数部分分开，可以写成：
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
$$\overline q_1\overline q_2=((w_1{\vec {u_2}}+w_2{\vec {u_1}}+{\vec {u_1}}\times {\vec {u_2}}),(w_1w_2-{\vec {u_1}}\cdot {\vec {u_2}}))$$
</script>

点积定义

叉积定义

四元数叉积：p × q
四元数叉积也称为奇积。它和矢量叉积等价，并且只返回一个矢量值：
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
$${\overline p\times \overline q={\frac {\overline p\overline q-\overline q\overline p}{2}}}$$
$${\overline p\times \overline q={\vec {u}}\times {\vec {v}}}$$
$${\overline p\times \overline q=(cz-dy)i+(dx-bz)j+(by-xc)k}$$
</script>

共轭定义

四元数的共轭的定义。即实部相同，虚部相反。（与复数概念类似）
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
$${\overline q^{*}=(\vec{（-x,-y,-z）},w)=(-\vec v,w)}$$
</script>

定义的推论

模的定义

四元数的模的定义。与矢量的模类似，都表示长度或者绝对值的意思。四元数的绝对值是四元数到原点的距离。
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
$${ |\overline q|={\sqrt {x^{2}+y{2}+z^{2}+w{2}}}}={\sqrt {w^{2}+\vec u \cdot \vec u}}={\sqrt {\overline q\cdot \overline q}}={\sqrt {\overline q\overline q^{*}}}$$
</script>

逆的定义

</script>

单位四元数的定义

所谓的单位量，都是指，任意原始量乘以单位量之后保持原始量不变。如对于实数而言，任意原始实数乘以实数1等于原始实数，因此1被定义为单位。
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
对于四元数同样，任意原始四元数$\overline q$乘以某个四元数$\overline q_i$,原始的四元数$\overline q$保持不变，则称此四元数$\overline q_i$为单位四元数。注意这里的乘以是指格拉丝曼积。根据格拉丝曼积的定义：
$$\overline q\overline q_i=((w{\vec {u_i}}+w_i{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {u_i}}),(ww_i-{\vec {u}}\cdot {\vec {u_i}}))$$
若希望结果保持不变，也就是结果仍然为：
$$\overline q\overline q_i=\overline q = (w,\vec u)$$
可以推测
$$w_i= 1, \vec u_i=0$$
也就是，单位四元数为:
$${\overline q_i =({\vec 0},1)}$$
</script>

四元数的归一化

归一化也叫单位化，与矢量的概念一样，就是为了把长度调整到单位长度。现在单位四元数已经得知，其单位长度显然是1。我们也知道了模的计算方法，因此把四元数的归一化方法如下：
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
$${\overline q^{,} =\frac {\overline q}{|\overline q|}=\frac {\overline q}{{\sqrt {w^{2}+\vec u \cdot \vec u}}}}$$
前述的单位复数表示形式为：e = cos(φ）+ sin(φ)i，因为此时，复数的长度为$cos(φ)^{2}+sin(φ){2}=1$，我们使用类似形式表示归一化的四元数：
$${\overline q =({\vec sin(φ)}\vec n,cos(φ))}$$
也就是实部现在使用$cos(φ)$表示，虚部使用$sin(φ)\vec n$表示，其中$\vec n$是归一化的三维矢量，由于$\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|cos(\theta_{ab})$，因此有$\vec n \cdot \vec n =1$。让我们尝试计算此时的模：
$${ |\overline q|={\sqrt {w^{2}+\vec u \cdot \vec u}}={\sqrt {cos(φ)^{2}+sin(φ){2}(\vec n \cdot \vec n)}}}=1$$
</script>

四元数映射_实数

我们可以将实数映射到四元数空间，所谓的映射，也就是说1对1的找到相应的存在，并且在不同空间施加施加相对应运算的法则时获得相同的结果。
例如，对应实数w，尝试进行如下映射：
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
$$\overline q = ( \vec 0,w)$$
那么是否能够遵守相应的运算法则？也就是说，如果实数$w_a$与实数$w_b$均被映射到了四元数空间，那么它们的加法和乘法的结果是否还能映射回去，与原始空间的运算获得相同的结果？加法显然可以，这里进行乘法计算测试：
$$\overline q_a = (\vec 0,w_a)$$
$$\overline q_b = (\vec 0,w_b)$$
$$\overline q_a\overline q_b = (\vec 0,w_a) (\vec 0,w_b)=w_aw_b-{\vec {0}}\cdot {\vec {0}}+w_a{\vec {0}}+w_b{\vec {0}}+{\vec {0}}\times {\vec {0}}$$
=>
$$\overline q_a\overline q_b =w_aw_b+\vec {0}=(\vec 0,w_aw_b)$$
显然，依照映射原则，可以将$(\vec 0,w_aw_b)$映射回去变成$w_a$$w_b$，与实数空间的计算结果相同。因此，此映射法则是可行的：
$$\overline q = ( \vec 0,w)$$
</script>

四元数映射_矢量直接映射

与实数映射类似，我们也可以尝试将三维矢量映射到四元数。

矢量映射

</script>

四元数映射_矢量间接映射

同态

先考虑一个同态概念：假设M，M′是两个乘集，也就是说M和M′是两个各具有一个封闭的具有结合律的运算与的代数系统。φ是M射到M′的映射，并且任意两个元的乘积的像是这两个元的像的乘积，即对于M中任意两个元a,b,满足
φ(ab)=φ(a)φ(b)；
也就是说，当a→φ(a)，b→φ(b)时，ab→φ(a)φ(b)，
那么这映射φ就叫做M到M′上的同态。我前面所解释的可以互相映射大致意思也就是同态。

四元数中的同态函数

为什么我们研究同态？因为这里涉及到我们希望出现的向量的旋转，一个三维空间的向量被旋转之后，它应该还是一个三维矢量。这个旋转函数应该满足以下要求：

间接映射

</script>
[此处还可以解释得更明确，不过太过复杂了]

旋转四元数

最后，给出旋转四元数，也就是一直在追求的φ()函数。
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default">
$${\overline q =({\vec sin(\frac \theta 2)}\vec n,cos(\frac \theta 2))}$$
它的含义是围绕$\vec n$轴旋转$\theta$角度。
具体旋转的方法使用以下函数：
$${\overline p^{,} =\overline q\overline p\overline q^{} }$$
其中$\overline p$是被旋转四元数，$\overline p^{,}$是结果四元数。这里的$\overline q^{}$写成$\overline q^{-1}$也是可以的，因为根据前述对逆的计算，对于此时模为1的$\overline q$来说，它们结果相同的。
具体推究方法以及证明方法过于复杂，就不在这里给出了。
</script>

总结