守恒定律 by胡庭硕

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守恒定律

知识点

动量守恒、角动量守恒的直观感受
动量守恒定律
- 质点系所受的合外力为零，总动量不随时间的而改变
- 动量守恒的方程： $\vec{I}=\int \vec{F}dt=\Delta \vec{P}=\sum_{i=1}^{n}\Delta\vec{p_i}$
- 动量守恒的成立条件：
  a. 合外力为零，或者内力远大于外力（例如爆炸瞬间）；
  b.外力沿某一方向为零，即动量单方向守恒；
  c.动量守恒只能适用于惯性系。
角动量守恒定律
定义: 若合外力矩为零，质点或质点系的角动量守恒。
- 步骤：
  a.规定好正方向
  b. 初态时，写出各个物件的角动量 $L_{i}$ （注意正负号）
  c. 末态时，写出各个物件的角动量 $L_{j}$ （注意正负号)
  d.列方程为： $\sum L_{初}=\sum L_{末}$
角动量计算的两种情况:
a. 做圆周运动的质点： $L=mrv=mr^2w$
b. 刚体： $L=J\omega$
【注】
圆环的转动惯量： $J=mr^2$
圆盘的转动惯量： $J=\frac{1}{2}mr^2$
杆的转动惯量： $J=\frac{1}{3}mr^2$
球体的转动惯量： $J=\frac{2}{3}mr^2$

tip

相比对单词的辨析进行死记硬背，不如记几个例句。
相比对物理概念进行全方位多角度的分析，不如记几个模型。

表达题

动量守恒和角动量守恒的充要条件分别是

解答：
动量守恒：所受外力的矢量和为零；
角动量守恒：所受
外力矩的矢量和为零。

切记，动量为零与动量守恒不等价，即二者为充分非必要关系。
借助具体例子培养直观认识。动量守恒的充要条件是合外力为零。作为近似，实际生活中，内力比外力强很多时，也认为动量守恒。下面常见的物理模型中，
(1) 爆炸瞬间；
(2) 两个小球非弹性碰撞(部分动能转化为内能)瞬间；
(3) 子弹打击用轻绳悬挂的小球瞬间；
(4) 光滑地面上有车，车上有人，人在车内走动；
(5) 小球撞击墙壁反弹；
(6) 子弹打击用轻杆悬挂的小球瞬间；
请思考，其中动量守恒的有( )，记住这些模型，会减少很多困扰。

解答：（1）（2）（3）（4）（5）

借助具体例子培养直观认识。角动量守恒的充要条件是合外力矩为零。下面常见的物理模型中，
(1) 地球绕着太阳转；
(2) 光滑桌面上用轻绳拽着小球做圆周运动；
(3) 光滑冰面上的芭蕾舞演员旋转；
(4) 子弹打击用轻杆悬挂着的小球瞬间。
(5) 小球打击旋转的滑轮的瞬间。
(6) 绕同一转轴转动的两个飞轮，彼此啮合的瞬间；
请思考，其中角动量守恒的有( )，记住这些模型，会减少很多困扰。

解答：（1）（2）（3）（4）（5）（6）

请记下角动量的核心公式，在角动量守恒中会反复使用。

圆周运动的质点和定轴转动的刚体，角动量分别为

解答：
做圆周运动的质点的角动量： $L=mrv=mr^2\omega$
做定轴转动的刚体的角动量： $L=J\omega$

花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为 $I_{0}$ ，角速度为 $\omega_{0}$ 。然后她将两臂收回，使转动惯量减少为 $\frac{1}{2}I_{0}$ ．设这时她转动的角速度变为 $\omega$ ，则角动量守恒的方程为

解答：
对于花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，可以等效为定轴转动的刚体。
即可以使用定轴转动刚体角动量的计算公式：
初态时，运动员的角动量为 $L_{初}=I_{0}\omega_{0}$ ;
末态时，运动员的角动量为 $L_{末}=\frac{1}{2}I_{0}\omega$ ;
所以，可列方程： $L_{初}=L_{末}$ 即 $I_{0}\omega_{0}=\frac{1}{2}I_{0}\omega$

一圆盘( $M,R$ )绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，转速为 $\omega_{0}$ . 如图射来一个质量为 $m$ ，速度大小为 $v_{0}$ 的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘边缘上。设子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度 $\omega$ ，约定逆时针转时角动量为正。
则初态时，将子弹速度沿切向(等效成圆周运动，从而得到角动量)和法向分解，其切向速度和角动量分别为
(1) $v_{0}$ , $mRv_{0}$ ；
(2) $v_{0}\sin\theta$ , $mRv_{0}\sin\theta$ ；
(3) $v_{0}\sin\theta$ , $-mRv_{0}\sin\theta$ ；
初态的总角动量为
(4) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega_{0}-mRv_{0}$ ；
(5) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega_{0}+mRv_{0}$ ；
末态的总角动量为
(6) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega$ ；
(7) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega+mR^{2}\omega$ ；
核心方程是为
(8) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega_{0}-mRv_{0}\sin\theta=\frac{1}{2}MR^{2}\omega+mR^{2}\omega$ ；
(9) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega_{0}+mR^{2}\omega_{0}=\frac{1}{2}MR^{2}\omega+mR^{2}\omega$ ；
以上正确的是( )

解答：（1）（5）（7）（9）

一圆盘( $M,R$ )绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，转速为 $\omega_{0}$ . 如图射来两个质量同为 $m$ ，速度大小同为 $v_{0}$ ，方向相反，子弹射入圆盘并且留在盘边缘上。设子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度 $\omega$ 。约定逆时针转时角动量为正。
则初态时，总角动量为
(1) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega_{0}-2mRv_{0}$ ；
(2) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega_{0}$ ；
末态的总角动量为
(3) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega$ ；
(4) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega+2mR^{2}\omega$ ；
核心方程是为
(5) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega_{0}-2mRv_{0}=\frac{1}{2}MR^{2}\omega+2mR^{2}\omega$ ；
(6) $\frac{1}{2}MR^{2}\omega_{0}=\frac{1}{2}MR^{2}\omega+2mR^{2}\omega$ ；
以上正确的是

解答：（2）（4）（6）

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tip

表达题

请记下角动量的核心公式，在角动量守恒中会反复使用。

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