人工智能通识-科普-圆面积公式怎么来的？

2019-03-17 本文已影响23人 zhyuzh3d

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大家可能都知道下面这个图的意思，但这里我们谈论一些更多的事情。

从圆周率π开始

圆周率是个神奇的事情，它表示圆的周长C是直径R的多少倍，即：
$\pi=\frac{C}{R}$

但为什么所有圆的周长除以直径都是固定值？而不是大圆周长除以直径得3，小圆周长除以直径得4？为什么都是π?下面这个解释也许能行得通。

首先从角度的定义说起，角度是圆周的360度等分，对于同心圆来说，等分360后的每一份结果一定是相同的。

另一方面，从直角三角形中看，特定角的度数也可以由对边和斜边的比例限定（即正弦sin值或cos值固定，或者说是相似三角形），因此如上图所示:
$\frac{AM}{AO}=\frac{A'M'}{A'O}$

就是说AC或OA'长度和半径成正比，当 $\beta \to 0$ 无限小时候，AC长度趋近于弧线ABC的长度。因此如开始的那张图，当我们把圆切分成无限个小三角形的时候，可以得到结论，由无限个弧线ABC组成的圆周与圆半径成固定比例。

圆周率怎么算出来的？

公元前250年，希腊数学家阿基米德提出了圆周率的多边形近似计算法。如下图所示，圆的周长一定大于内接多边形周长，而又小于外切多边形的周长。

就是用这个算法，阿基米德计算了96边形的情况，利用三角函数计算得到了圆周率的范围是：
$\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}\;\;\;即3.1408<\pi<3.1429$

中国古代公元前二世纪西汉时期编写的《周脾算经》便有“径一周三”的记载。

公元256年，魏国的刘徽创建了用于计算圆面积的割圆术以及正多边形面积计算公式。割圆术直接证明了文章顶部的圆面积计算公式 $S=\pi r^2$ 。而后刘徽还发明了圆周率不等式（圆周率范围公式），如下图所示，本质上与阿基米德方法类似，都是通过把圆不断切分为三角形，然后利用多边形的周长来逼近圆周长的。

image.png

刘徽并且发明了一种捷径算法，他使用96边形的结果直接得到了1536边形的数据，得到圆周率的精度：
$\pi=\frac{3927}{1250}\;\;即3.1416$

《九章算术》是成书时间已经不可考，至少是西汉时代或更早，其实是一本数学题集，记录的都是类似有田宽十二步长十四步求面积多少步平方的题目，后世很多数学家为这些题目做注解讲算法，刘徽注解的版本最为知名，其中包含了割圆术等众多思想发明。

祖冲之其实对于圆周率没啥大贡献，他只是沿用刘徽的算法把圆切到了惊人的12288边形，并且利用刘徽的捷径算法得到了24576边形的情况：
$3.1415926<\pi<3.1415927$
并创造了两个名词：
$约率=\frac{22}{7};\;\;\;\;\;密率=\frac{355}{113}$

注意这里，圆周率π是无理数，真正的π是不能用任何分数形式准确表示的。

其他圆周率算法

当然最直接的计算圆周率的办法还是下图这样：

另外一个办法是利用数沙粒的办法获得圆面积和外切正方形面积的比例，进而得到圆周率，这种方法其实就是蒙特卡罗算法，你可以从以下两个文章了解更多。

Goc-圆周率“π”是怎么计算来的？
Goc-圆周率“π”是怎么计算来的？-续

圆面积公式

除了切分成无数三角形之外，还有另外一种类似洋葱的转圈展开法，然后就可以用三角形底乘高计算面积了。如下图所示：

这里的小问题是三角形/梯形的边缘（图中斜着的蓝色虚线）是否一定是直线？有没有可能是弯曲的弧线？如果是弧线的话就不能用三角形面积公式了，那么这个方法就是错的。——你可以尝试从圆的周长来考虑每个台阶横条的长度比例是否协调。

可能大家已经发现，我很久没有更新编程类文章了，尤其是Python和TensorFlow相关文章，对这方面感兴趣的读者可以观看这里获得更多技巧，例如：
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