近世代数理论基础28：单扩张

2019-03-06 本文已影响23人溺于恐

单扩张

代数元

定义：域F上存在不全为0的元 $a_0,a_1,\cdots,a_n(n\ge 1)$ ,使得 $a_0+a_1\alpha+\cdots+a_n\alpha^n=0$ ,则称 $\alpha$ 为域F上的一个代数元,否则称为F上的一个超越元

两类单扩张

设x为域F上的一个不定元

定理：若 $\alpha$ 是F上的一个超越元,则 $F(\alpha)\cong F(x)$ ,这里F(x)表示F上的有理函数域

证明：

$记F[\alpha]=\{a_0+a_1\alpha+\cdots+a_n\alpha^n|a_i\in F,n\in \Z,n\ge 0\}$

$F[\alpha]是F上\alpha的多项式环$

$定义\varphi:\sum\limits_{i}a_ix^i\to \sum\limits_{i}a_i\alpha^i$

$\varphi是F[x]到F[\alpha]的环同态满射$

$\because \alpha是F上的超越元$

$F上的任一非零多项式f(x),f(\alpha)\neq 0$

$此时,\varphi是F[x]到F[\alpha]的同构$

$F[x]的分式域即F(x)$

$F[\alpha]的分式域即F(\alpha)$

$\therefore F(\alpha)\cong F(x)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：若 $\alpha$ 是F上的一个代数元,则存在F上唯一确定的首1不可约多项式p(x)使 $F(\alpha)\cong F[x]/(p(x))$

证明：

$定义\varphi:\sum\limits_{i}a_ix^i\to \sum\limits_{i}a_i\alpha^i$

$\varphi是F[x]到F[\alpha]的环同态满射$

$\because \alpha是F上的一个代数元$

$此时Ker(\varphi)是F[x]中的一个非零理想$

$且F[x]/Ker(\varphi)\cong F[\alpha]$

$F[x]是一个主理想整环$

$\therefore 存在唯一首1多项式p(x)使Ker(\varphi)=(p(x))$

$\because p(\alpha)=0$

$\therefore p(x)是一个非零次多项式$

$且p(x)一定是F上的不可约多项式$

$若不然,即p(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)的次数小于p(x)的次数$

$\because p(\alpha)=g(\alpha)h(\alpha)=0$

$域F中没有零因子$

$\therefore g(\alpha)=0,h(\alpha)=0$

$即g(x)\in (p(x))或h(x)\in (p(x))$

$\therefore p(x)|g(x)或p(x)|h(x)$

$显然不可能$

$\therefore (p(x))是F[x]的极大理想$

$F[x]/(p(x))是一个域,与F[\alpha]同构$

$\therefore F[\alpha]是一个域,且F[\alpha]=F(\alpha)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

若 $p(x)$ 是F上的不可约多项式,则一定存在F的一个扩域,使 $p(x)$ 在其中有一个根

设n为 $p(x)$ 的次数,则 $F[x]/(p(x))$ 中的任一元都可表为 $1,x,\cdots,x^{n-1}$ 的线性组合 $\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i$

$F(\alpha)$ 中元的四则运算

设 $f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i,g(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}b_ix^i$

则 $f(\alpha)\pm g(\alpha)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(a_i\pm b_i)\alpha^i$

$f(\alpha)\cdot g(\alpha)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}c_i\alpha^i$

其中 $r(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}c_ix^i\equiv f(x)\cdot g(x)(mod\; p(x))$

设 $f(\alpha)\neq 0$ ,则 $f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i\neq 0$

由p(x)是不可约多项式,存在多项式 $h(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}h_ix^i(h_i\in F)$ ,使 $f(x)h(x)\equiv 1(mod\; p(x))$

其中 $h(x)$ 可用辗转相除法计算

即 $f^{-1}(\alpha)=h(\alpha)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}h_i\alpha^i$

极小多项式

定义： $F[x]$ 中满足 $p(\alpha)=0$ 的次数最低的首1多项式 $p(x)$ 称为 $\alpha$ 在F上的极小多项式, $p(x)$ 的次数称为 $\alpha$ 在F上的次数

注：无零因子域任一代数元 $\alpha$ 的极小多项式都是一个不可约多项式

定理：若 $p(x)$ 是 $F[x]$ 中的一个首1不可约多项式,则存在F的单扩张 $F(\alpha)$ ,使 $p(x)$ 为 $\alpha$ 的极小多项式

证明：

$\because p(x)不可约$

$\therefore (p(x))是F[x]的极大理想$

$\therefore E=F[x]/(p(x))是一个域$

$设\varphi:F[x]\to E=F[x]/(p(x))是一个自然同态$

$F在E中的像记作F’$

$\varphi诱导出F到F’的一个同构$

$\therefore \forall \alpha\in F在E中的像\varphi(\alpha)记作\alpha$

$即将F看作E的一个子域$

$记x在E中的像\varphi(x)为\alpha$

$设p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+x^n$

$则(p(x))=a_0+a_1\varphi(x)+\cdots+a_{n-1}\varphi(x)^{n-1}+\varphi(x)^n$

$=a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\alpha^n=p(\alpha)$

$\varphi(p(x))=0\Rightarrow p(\alpha)=0$

$即域E包含F上的代数元\alpha,且p(\alpha)=0$

$下证p(x)即\alpha的极小多项式$

$设p_1(x)为\alpha的极小多项式$

$\because p(\alpha)=0$

$\therefore p_1(x)|p(x)$

$\because p(x)是首1不可约多项式$

$\therefore p_1(x)=p(x)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：设 $F(\alpha)$ 和 $F(\beta)$ 是域F的两个单扩张,且 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 $F$ 上的极小多项式都是 $p(x)$ ,则 $F(\alpha)\cong F(\beta)$

证明：

$\because \alpha和\beta都是域F上的代数元,极小多项式为p(x)$

$\therefore F(\alpha)\cong F[x]/(p(x))\cong F(\beta)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：在 $F(\alpha)$ 与 $F(\beta)$ 的同构映射下,F中的元映射为自身, $\alpha$ 映射为 $\beta$

例：

1. $\C=\R(i)$ ,i在 $\R$ 上的极小多项式为 $x^2+1$ ,代数次数为2

2.令 $\alpha=e^{2pi i/3}$ , $\alpha^3-1=0$ , $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\alpha\neq 1$ ,故 $\alpha$ 在 $\Q$ 上的极小多项式为 $x^2+x+1$ ,是 $\Q$ 上的二次代数元

3.令 $\alpha$ 为域 $\Q$ 上多项式 $p(x)=x^2+2x+2$ 的根,易知 $\alpha=-1+i$ 或 $-1-i$

$p(x)$ 的根不在 $\Q$ 中,即 $p(x)$ 在 $\Q$ 上不可约, $\alpha$ 是 $\Q$ 上的2次代数元

扩域 $\Q(\alpha)$ 的任一元都可表为 $a_0+a_1\alpha(a_0,a_1\in \Q)$ ,即1与 $\alpha$ 的 $\Q$ -线性组合

将 $\alpha^3$ 与 $\alpha^{-1}$ 分别表为1与 $\alpha$ 的 $\Q$ -线性组合

$x^2\equiv -2x-2(mod\;p(x))$

$x^2\equiv -2x^2-2x\equiv -2(-2x-2)-2x\equiv 2x+4(mod\; p(x))$

故 $\alpha^3=2\alpha+4$

又 $x(x+2)\equiv -2(mod\;p(x))$

故 $\alpha^{-1}=-{\alpha\over 2}-1$

4.利用爱森斯坦判别法, $f(x)=x^3+3x+3$ 是 $\Q$ 上不可约多项式

设 $\alpha$ 是f(x)的一个实根(实系数奇次多项式必有实根),则 $\alpha$ 是 $\Q$ 上的3次代数元

将 $\Q(\alpha)$ 中的 $\alpha^4+\alpha^3+1$ 及 $(\alpha^4+\alpha^3+1)^{-1}$ 表为1, $\alpha$ , $\alpha^2$ 的 $\Q$ -线性组合

$x^4+x^3+1=(x+1)f(x)-3x^2-6x-2$

故 $\alpha^4+\alpha^3+1=-(3\alpha^2+6\alpha+2)$ ,对 $x^3+3x+3$ 和 $3x^2+6x+2$ 辗转相除

$x^3+3x+3=({x\over 3}-{2\over 3})(3x^2+6x+2)+{19\over 3}x+{13\over 3}$

$3x^2+6x+3=({9\over 19}x+{225\over 361})({19\over 3}x+{13\over 3})-{253\over 361}$

故 $(3x^2+6x+2)(57x^2-39x+211)\equiv -253(mod\; f(x))$

$(\alpha^4+\alpha^3+1)^{-1}={1\over 253}(57\alpha^2-39\alpha+211)$

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