三维曲面偏导数所在直线决定的平面是曲面切面的证明

2019-03-28 本文已影响5人壮志_凌云

设二元函数 $z = f(x,y)$ 在 $(x_{0} ,y_{0})$ 处可微的， $f$ 在 $(x_{0} ,y_{0})$ 处沿偏导数方向的切线决定一个平面 $S$ ，证明 $S$ 是 $f$ 在 $(x_{0} ,y_{0})$ 处的切面。证明如下：

$f$ 在 $(x_{0} ,y_{0})$ 处沿偏导数方向的切线方程分别为： $\begin{cases} L1: z-z_{0}=\frac{\partial f}{\partial x} (x-x_{0}) & , y = y_{0}\\ L2: z-z_{0}=\frac{\partial f}{\partial y} (y- y_{0}) & , x = x_{0}\end{cases}$ ，其中， $L1$ 是 $f$ 沿 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 方向的切线，方向向量为 $\vec{v} _{1} = (x-x_{0},0,\frac{\partial f}{\partial x} (x - x_{0}))$ ； $L2$ 是 $f$ 沿 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 方向上的切线，方向向量为 $\vec{v} _{2} = (0,y-y_{0},\frac{\partial f}{\partial y} (y - y_{0}))$ 。 $L1$ 和 $L2$ 相交于 $(x_{0} ,y_{0})$ ，故它们决定了平面 $S$ 。平面 $S$ 的法线 $\vec{n} = \vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} =$ $(-\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_{0})(y-y_{0})),-\frac{\partial f}{\partial y}(x-x_{0})(y-y_{0}),(x-x_{0})(y-y_{0}))$ 。

考虑函数 $z = f(x,y)$ 实际上是三元函数 $w = g(x,y,z)= f(x,y) - z$ 的等位面，故 $\nabla g = (\frac{\partial f}{\partial x} ,\frac{\partial f}{\partial y} ,-1)$ 与 $f$ 正交，即 $\nabla g$ 垂直于 $f$ 在 $(x_{0} ,y_{0})$ 处的切平面。由于 $\vec{n} \times \nabla g = \vec{0}$ ，即 $S$ 过 $(x_{0} ,y_{0})$ 且 $S$ 的法线与切平面的法线方向相同，故 $S$ 就是 $f$ 在 $(x_{0} ,y_{0})$ 处的切平面。

命题证毕。

三维曲面偏导数所在直线决定的平面是曲面切面的证明

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