微分方程-齐次线性方程组的通解结构

2019-11-14 本文已影响0人洛玖言

齐次线性方程组的通解结构

本文讨论齐次线性微分方程组

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}\quad(3.9)$

的解的结构. 假设 $\boldsymbol{A}(t)$ 是区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n\times n$ 阶连续矩阵函数. 一个最基本的结果是：

定理 3.2（叠加原理）

如果 $\boldsymbol{x}_1(t)$ 和 $\boldsymbol{x}_2(t)$ 是齐次线性微分方程组（3.9）的两个解，则

$\boldsymbol{x}(t)=C_1\boldsymbol{x}_1(t)+C_2\boldsymbol{x}_2(t)$

也是（3.9）的解，其中 $C_1,\,C_2$ 是任意常数. 并且齐次线性微分方程组（3.9）解的全体 $S$ 为了一个 $n$ 维线性空间.

为了证明这个定理，我们需要引入若干个向量函数线性无关的概念. 给定定义在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n$ 个向量函数 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ ，如果存在 $n$ 个不全为零的常数 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ ，使得

$\displaystyle\sum_{k=1}^nC_k\boldsymbol{x}_k(t)\equiv0,\quad\forall\; t\in[\alpha,\,\beta]\quad(3.10)$

则称 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上线性相关；否则就称这些向量函数在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上.

定理 3.2 的证明

定理的前一半根据求导公式容易得到. 我们只需证明（3.9）的解的全体 $S$ 为一个 $n$ 维线性空间.

我们先证明方程组（3.9）在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上一定存在 $n$ 个线性无关的解 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ . 在 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 上任意选择 $n$ 个线性无关的向量 $\boldsymbol{x}_1^0,\boldsymbol{x}_2^0,\cdots,\boldsymbol{x}_n^0$ . 根据定理 3.1 ，对任意的 $k(1\leqslant k \leqslant n)$ 及区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的任意实数 $t_0$ ，方程组（3.9）在 $t$ 的区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上存在唯一满足初值条件 $\boldsymbol{x}_k(t_0)=\boldsymbol{x}_k^0$ 的解 $\boldsymbol{x}_k(t)$ . 若有常数 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ ，满足

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_k\boldsymbol{x}_k(t)\equiv0,\quad\alpha\leqslant t\leqslant\beta$

则必有

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_k\boldsymbol{x}_k^0=\sum_{k=1}^nC_k\boldsymbol{x}_k(t_0)=0$ .

由于向量 $\boldsymbol{x}_1^0,\boldsymbol{x}_2^0,\cdots,\boldsymbol{x}_n^0$ 是线性无关的，因此 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ 必全为零，这表明方程组的（3.9）的解 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ 是线性无关的.

其次我们证明，方程组（3.9）的任一解 $\boldsymbol{x}(t)$ 都可表示为上述 $n$ 个线性无关解的线性组合

$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\sum_{k=1}^{n}C_k\boldsymbol{x}_k(t),\quad\alpha\leqslant t\leqslant\beta\;(3.11)$

其中 $C_1,c_2,\cdots,C_n$ 为常数. 一方面，由于向量组 $\boldsymbol{x}_1^0,\boldsymbol{x}_2^0,\cdots,\boldsymbol{x}_n^0$ 线性无关，他们构成了 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 的一组基，故存在常数 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ ，使得

$\displaystyle\boldsymbol{x}(t_0)=\sum_{k=1}^nC_k\boldsymbol{x}_k^0=\sum_{k=1}^nC_k\boldsymbol{x}_k(t_0)\quad(3.12)$

另外由本定理的第一部分知，

$\displaystyle\sum_{k=1}^nC_k\boldsymbol{x}_k(t)$

也是方程组（3.9）的满足处置条件 $\boldsymbol{x}(t_0)$ 的解. 因此由解的存在唯一性定理（即定理3.1）知（3.11）成立.

上面的证明告诉我们，在固定 $t_0$ 的情形下， $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 上任意一个常向量 $\boldsymbol{x}^0$ 都唯一地对应于齐次方程组（3.9）的一个解 $\boldsymbol{x}(t)$ . 映射 $\sigma:\boldsymbol{x}^0\mapsto\boldsymbol{x}(t)$ 事实上给出了由函数组成的空间 $S$ 与线性空间 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 之间的同构关系.

齐次方程组（3.9）的 $n$ 个线性无关的解合起来称为该方程组的一个基本解组. 显然基本解组不是唯一的，如果齐次方程组（3.9）有基本解组 $\{\boldsymbol{x}_k(t):k=1,2,\cdots,n\}$ ，则齐次方程组（3.9）的通解必可表示维（3.11）的形式. 因此，且方程组（3.9）的通解的问题可归结为求他的 $n$ 个线性无关的特解的问题.

假设已知

$\boldsymbol{x}_k(t)=\begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_{1k}(t)\\\\ \boldsymbol{x}_{2k}(t)\\ \vdots\\ \boldsymbol{x}_{nk}(t)\\ \end{pmatrix}, \quad k=1,2,\cdots,n$

是方程组（3.9）的 $n$ 个解，我们怎样判定它们是否线性无关呢？

定义 3.1

由方程组（3.9）的 $n$ 个解 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ 构成的矩阵

$\boldsymbol{X}(t)\begin{pmatrix} x_{11}(t)&x_{12}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t)\\ \end{pmatrix}$

称为方程组（3.9）的一个解矩阵. 其行列式 $\det\boldsymbol{X}(t)$ 称为这个解的 Wronski 行列式.

由线性代数的知识易知：若定义在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n$ 个向量函数 $\boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t)$ 线性相关，则在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上其 Wronski 行列式 $\det\boldsymbol{X}(t)\equiv0$ . 下免的定理给出了一个判定方程组（39）的某个解组是否线性无关的简洁的方法：

定理 3.3

方程组（3.9）的解组 $\{\boldsymbol{x}_k(t):k=1,2,\cdots,n\}$ 线性无关的充要条件是它们的 Wronski 行列式 $\det\boldsymbol{X}(t)$ 在某点 $t=t_0\in[\alpha,\,\beta]$ 处取值不为零. 并且 $\det \boldsymbol{X}(t)$ 满足 Liouville 公式

$\displaystyle\det\boldsymbol{X}(t)=\det\boldsymbol{X}(t_0)\exp(\int_{t_0}^t\text{tr}\boldsymbol{A}(\tau)\text{d}\tau)\quad(3.13)$

其中 $t,t_0\in[\alpha,\,\beta],\text{tr}\boldsymbol{A}(t)$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}(t)$ 的迹，即

$\displaystyle\text{tr}\boldsymbol{A}(t)=\sum_{k=1}^na_{kk}(t).$

证明

根据行列式的定义以级函数和、积的求导公式，容易证明

$\begin{aligned} \displaystyle\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\det\boldsymbol{X}(t) =&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\begin{vmatrix} x_{11}(t)&x_{12}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t)\\ \end{vmatrix}\\ =&\begin{vmatrix} \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{11}(t)&\cdots&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&\cdots&x_{nn}(t) \end{vmatrix} \\&+\begin{vmatrix} x_{11}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{21}(t)&\cdots&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{2n}(t)\\ \vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&\cdots&x_{nn}(t) \end{vmatrix}\\ &+\cdots+\begin{vmatrix} x_{11}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ x_{12}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&&\vdots\\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{n1}(t)&\cdots&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{nn}(t) \end{vmatrix}\\ (3.14) \end{aligned}$

由于 $\boldsymbol{x}_k(t),k=1,2,\cdots,n$ 是方程组（3.9）的解，故

$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{11}(t)&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{12}(t)&\cdots&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t) \end{vmatrix}\\\\ =&\begin{vmatrix} \displaystyle \sum_{k=1}^na_{1k}x_{k1}(t)&\displaystyle \sum_{k=1}^na_{1k}x_{k2}(t)&\cdots& \displaystyle \sum_{k=1}^na_{1k}x_{kn}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t) \end{vmatrix}\\ =&a_{11}(t) \begin{vmatrix} x_{11}(t)&x_{12}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t)\\ \end{vmatrix}\\ =&a_{11}(t)\det\boldsymbol{X}(t) \end{aligned}$

同理可得（3.14）右端的第 $k$ 个行列式的值等于 $a_{kk}(t)\det\boldsymbol{X}(t)$ ，其中 $k=1,2,\cdots,n$ . 从而，

$\displaystyle\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\det\boldsymbol{X}(t)=\sum_{k=1}^na_{kk}(t)\det\boldsymbol{X}(t)=\text{tr}\boldsymbol{A}(t)\det\boldsymbol{X}(t)$

这是关于 $\det\boldsymbol{X}(t)$ 的一阶线性方程，其解为

$\displaystyle\det\boldsymbol{X}(t)=\det\boldsymbol{X}(t_0)\exp(\int_{t_0}^t\text{tr}\boldsymbol{A}(\tau)\text{d}\tau),$

因此 Liouville 公式成立. 按照这个公式，我们容易知道 $\det\boldsymbol{X}(t)$ 恒为 0（无零点）当且仅当 $\det\boldsymbol{X}(t)$ 在某点 $t_0$ 等于 0（不等于 0 ）. 定理证毕.

定理 3.3 的第一部分还可以利用解的唯一性（定理 3.1 ）来给出证明.
由定理 3.3，只需在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的任一点 $t_0$ 处计算出给定解组的 Wronski 行列式 $\det \boldsymbol{X}(t_0)$ ，就可根据 $\det\boldsymbol{X}(t_0)$ 是否为零来判断其是否线性无关.

值得注意的是，上述函数矩阵的行列式或恒为零或恒不为零的结果只适用于由齐次线性微分方程给出的解矩阵. 一般的函数矩阵没有这样的性质，更不能用它来判断向量函数组是否线性无关. 例如，下列两个向量函数：

$\begin{pmatrix} t\\0, \end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix} t^2\\0 \end{pmatrix}$

的 Wronski 行列式恒等于零，但它们却是线性无关的.

定义 3.2

当解组 $\{\boldsymbol{x}_k(t):k=1,2,\cdots,n\}$ 是一个基本解组时，我们称解矩阵

$\boldsymbol{X}(t)=\begin{pmatrix} x_{11}(t)&x_{12}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t) \end{pmatrix}$

为方程组（3.9）的一个基(本)解矩阵. 特别地，如果在某点 $t_0$ 处 $\boldsymbol{X}(t_0)=\boldsymbol{I}$ （即单位矩阵），则称 $\boldsymbol{X}(t)$ 为标准解矩阵.

根据前面的定理，设 $\boldsymbol{X}(t)$ 为方程组（3.9）的一个基解矩阵，则方程组（3.9）的任一解 $\boldsymbol{x}(t)$ 都可以表示为

$\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{X}(t)\boldsymbol{c}$

其中 $\boldsymbol{c}$ 是某常量. 反之，对于任意常向量 $\boldsymbol{c}$ ，向量函数 $\boldsymbol{X}(t)\boldsymbol{c}$ 都是方程组（3.9）的解. 如果考虑初值函数 $\boldsymbol{x}(t_0)=\boldsymbol{x}^0$ 的解为

$\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{X}(t,t_0)\boldsymbol{x}^0$

其中 $\boldsymbol{X}(t,t_0):=\boldsymbol{X}(t)\boldsymbol{X}^{-1}(t_0)$ 是一个标准解矩阵.