8皇后问题
2016-07-19 本文已影响78人
jacky123
前言
八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
分析
-
我们可以逐行或者逐列来进行可行摆放方案的遍历，每一行（或列）遍历出一个符合条件的位置，接着就到下一行或列遍历下一个棋子的合适位置，这种遍历思路可以保证我们遍历过程中有一个条件是绝对符合的——就是下一个棋子的摆放位置与前面的棋子不在同一行（或列）。
接下来，我们只要判断当前位置是否还符合其他条件，如果符合，就遍历下一行（或列）所有位置，看看是否继续有符合条件的位置，以此类推，如果某一个行（或列）的所有位置都不合适，就返回上一行（或列）继续该行（或列）的其他位置遍历，当我们顺利遍历到最后一行（或列），且有符合条件的位置时，就是一个可行的8皇后摆放方案，累加一次八皇后可行方案的个数，然后继续遍历该行其他位置是否有合适的，如果没有，则返回上一行，遍历该行其他位置，依此下去。这样一个过程下来，我们就可以得出所有符合条件的8皇后摆放方案了。这是一个深度优先遍历的过程，同时也是经典的回溯递归思路。 -
把当前列N的前面的某一列设为m,则m的所有取值为｛m>=0,m<N｝的集合,故又可在上面式子的基础，归纳为如下：
cols[N] != cols[m]（与第m列的棋子不在同一行）
cols[N] != cols[m] -（N-m）(>=0 ,与第m列的棋子不在同一斜线上)
cols[N] != cols[m] + (N-m) (<=8-1,与第m列的棋子不在同一反斜线上)
具体到代码，很显然，取m的所有值只需要一句循环，同时我们为每一列定义一个长度为8的布尔数组row[],下标同样是从0开始，我们规定当row[i]=true时，表示该列第i行不能放棋子。这样我们就能写成下列程序段了：
boolean[] rows = new boolean[8];
for(int m=0;m<N;i++){
rows[cols[m]]=true;//当前列N的棋子不能放在前面列m的棋子所在行。
int d = N-m;
//该句用于设置当前列N的棋子不能放在前面列m的棋子的斜线上
if(cols-d >= 0)rows[cols-d]=true;
// 该句用于设置当前列N的棋子不能放在前面列m的棋子的反斜线上
if(cols+d <=8-1)rows[cols+d]=true;
}
完整的代码
public class Queen8 {
public static int num = 0; // 累计方案总数
public static final int MAXQUEEN = 8;// 皇后个数，同时也是棋盘行列总数
// 定义cols数组，表示8列棋子摆放情况；下标表示列数，值表示行数
public static int[] cols = new int[MAXQUEEN];
public void start() {
// 核心函数
getArrangement(0);
System.out.print("\n");
System.out.println(MAXQUEEN + "皇后问题有" + num + "种摆放方法。");
}
//当前遍历到n行
public void getArrangement(int n) {
// 遍历第n列所有不合法的行，并用rows数组记录，不合法即 rows[i]=true
boolean[] rows = new boolean[MAXQUEEN];
for (int i = 0; i < n; i++) {
//与第i列的棋子不在同一行
rows[cols[i]] = true;
int d = n - i;
if (cols[i] - d >= 0)
// 与第i列的棋子不在同一斜线上
rows[cols[i] - d] = true;
if (cols[i] + d <= MAXQUEEN - 1)
// 与第i列的棋子不在同一反斜线上
rows[cols[i] + d] = true;
}
//一个循环，如果当前行没有满足要求，可以移动下一个位置
for (int i = 0; i < MAXQUEEN; i++) {
// 判断该行是否合法，如果所有不合法，就退出这个循环了，然后相当于返回了上一步，继续查找。
if (rows[i])
continue;
// 设置当前列合法棋子所在行数
cols[n] = i;
// 当前列不为最后一列时
if (n < MAXQUEEN - 1) {
getArrangement(n + 1);
} else {
// 累计方案个数
num++;
// 打印棋盘信息
printChessBoard();
}
}
}
public void printChessBoard() {
System.out.print("第" + num + "种走法 \n");
for (int i = 0; i < MAXQUEEN; i++) {
for (int j = 0; j < MAXQUEEN; j++) {
if (i == cols[j]) {
System.out.print("0 ");
} else
System.out.print("+ ");
}
System.out.print("\n");
}
}
public static void main(String args[]) {
new Queen8().start();;
}
}
结果：
第1种走法
0 + + + + + + +
+ + + + + + 0 +
+ + + + 0 + + +
+ + + + + + + 0
+ 0 + + + + + +
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+ + + + + 0 + +
+ + 0 + + + + +
第2种走法
0 + + + + + + +
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+ + + 0 + + + +
+ + + + + 0 + +
+ + + + + + + 0
+ 0 + + + + + +
+ + + + 0 + + +
+ + 0 + + + + +
第3种走法
0 + + + + + + +
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+ + 0 + + + + +
+ + + + + + 0 +
+ + + 0 + + + +
+ 0 + + + + + +
+ + + + 0 + + +
第4种走法
0 + + + + + + +
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+ + 0 + + + + +
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+ 0 + + + + + +
+ + + 0 + + + +
第5种走法
+ + + + + 0 + +
0 + + + + + + +
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+ 0 + + + + + +
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第6种走法
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0 + + + + + + +
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+ + + + + + + 0
+ 0 + + + + + +
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第7种走法
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0 + + + + + + +
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+ + + 0 + + + +
+ 0 + + + + + +
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第8种走法
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第9种走法
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0 + + + + + + +
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第10种走法
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第11种走法
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第12种走法
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第13种走法
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0 + + + + + + +
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第14种走法
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第15种走法
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0 + + + + + + +
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第16种走法
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第17种走法
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0 + + + + + + +
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第18种走法
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第19种走法
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0 + + + + + + +
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第20种走法
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第21种走法
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第22种走法
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第23种走法
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第24种走法
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第25种走法
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第26种走法
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第27种走法
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0 + + + + + + +
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第28种走法
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0 + + + + + + +
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第29种走法
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0 + + + + + + +
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第30种走法
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第31种走法
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第32种走法
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第33种走法
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第34种走法
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第35种走法
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第36种走法
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0 + + + + + + +
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第37种走法
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第38种走法
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第39种走法
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第40种走法
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第41种走法
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第42种走法
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第43种走法
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第44种走法
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第45种走法
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第46种走法
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第47种走法
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第48种走法
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第49种走法
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第50种走法
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第51种走法
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第52种走法
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第53种走法
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第54种走法
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第55种走法
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第56种走法
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第57种走法
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第58种走法
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第59种走法
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第60种走法
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第61种走法
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第62种走法
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第63种走法
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第64种走法
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第65种走法
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第66种走法
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第67种走法
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第68种走法
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第69种走法
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第70种走法
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第71种走法
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第72种走法
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第73种走法
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第74种走法
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第75种走法
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第76种走法
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第77种走法
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第78种走法
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第79种走法
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第80种走法
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第81种走法
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第82种走法
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第83种走法
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第84种走法
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第85种走法
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第86种走法
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第87种走法
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第88种走法
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第89种走法
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第90种走法
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第91种走法
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第92种走法
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8皇后问题有92种摆放方法。
