数学背后的故事（1）

神奇的 π

π 在数学中地位如神一般的存在，可以说如果没有 π 就没有现代数学。它的定义很简单就是圆的周长和直径的比值。它在数学和物理的个各个分之都有运用。最简单的是计算圆周长了吧，我们只要知道直径的长度再乘以 π 就是周长了。
虽说 π 定义简单，但要精确计算出它的值是不可能的，因为它是一个无限不循环小数也称作超越数。到目前计算到小数点后多少位我也不太清楚，知道了也没什么意义。我感兴趣的是前人计算 π 的过程。虽然结果很重要，但在求解数学问题的过程中可能会收获一些意想不到成果，有些甚至衍生出了数学的其他分支，推动了数学的发展。
计算 π 的过程简直太精彩，人们为了精确的计算出 π 的值，经过了几千年的艰苦卓绝的努力,直到现在还有人在研究。从时间上来讲 π 的计算从公元前1900年前就开始了，这里不详细研究历史了，感兴趣的可以百度。在这里只谈对计算 π 有过巨大贡献的标志性人物。首先要介绍的是古希腊数学家阿基米德，这个人我们都很熟悉啊，有个他的故事：有一天洗澡突然灵关闪现发现了浮力原理，兴奋的忘了穿裤子就跑到大街上大喊找到了找到了。现在咱们还谈什么裸奔，人家几千年前就实践了。可以称得上是裸奔的先驱了。哈哈，开个玩笑，阿基米德这个人还是很厉害的，有时间专门做一期。他是如何来计算 π 的呢？阿基米德想：你不是圆的周长不好测量吗，那我就在圆内画个正六边形，外边画个正六边形，那圆的周长肯定在两个正六边形周长之间。这样算下来可能误差比较大，但我可以把正多边形加倍变成正12边形，以此迭代下去就会无限接近正确的值了。最后直到内接正96边形和外接正96边形为止，他求出圆周率的下界和上界分别为 223/71 和 22/7，并取它们的平均值 3.141851 为圆周率的近似值。接下来这几位是中国的数学前辈，刘徽用割圆术计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正 192 边形。刘徽给出 π=3.141024 的圆周率近似值。刘徽在得圆周率=3.14之后，将这个数值和晋武库中汉[王莽]时代制造的铜制体积[度量衡]标准[嘉量]斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到 1536 边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率 3.1416。之后祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927。在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。之后进入计算机时代，使π值计算有了突飞猛进的发展。这里要特别提一下鲁道夫·范·科伊伦，这哥们几乎耗尽一生就为了算 π 。还有一位英国的威廉·山克斯（William Shanks），他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位，并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。也不知道他们从哪里来的动力，就是为了名声吗？这种毅力实在是佩服。其实在探索数学的道路上，还有许多类似的可歌可泣故事，比如哥德巴赫猜想，后续会讲到。