我为什么不用ANOVA？
2019-01-15 本文已影响46人
董八七
因为它很局限。
ANOVA（Analysis of variance）是Fisher在1918年发明的一种方差分析方法[1]。因为我们多数人在数理统计入门时重点学习过，所以最常使用。ANOVA有三大要求，使用前要逐一检验：
- 数据平衡（没有缺失值）；
- 响应变量服从正态分布；
- 方差齐次（处理内不同水平的方差要相等）。
一旦不满足条件需要：
- 填补缺失值；
- 转换以服从正态；
- 方差不齐怎么弄（就这么着吧）。
第一条没有问题。第二条，响应变量不服从正态分布才是合理的，图1，举例，前3列是一个处理的3个水平，单独时都服从正态，但混合分布（4列）就不是正态，而混合变量就是我们通常进行检验的响应变量。要清楚，无论什么转换，转换后怎么服从正态，根上就不对。第3条，方差不齐很常见，但似乎没有合适的方法来解决。
图1. 混合分布的正态性
如果以上3个条件都满足，那么用ANOVA是没有问题的，得到的结果和线性模型的是一致的。这里我总结了ANOVA和线性模型的关系（图2）。ANOVA在最小枝，可见有多么局限。
图2. GLMM广义线性混合模型。变量类型粗略分为连续和不连续2种
下面说一下线性模型的相对优势，它是怎么解决ANOVA的3大局限的。线性模型一般写成这样：
是响应变量，
是固定效应，
和
是随机的随机效应和残差；X和Z是固定和随机效应的关联矩阵。
线性模型的条件是和
服从均值为0的正态分布。看见没，没有对
有任何限制。针对ANOVA的第2条。
方差不齐怎么办？把效应结构化。什么意思呢？比如ANOVA要求水平1和水平2的方差相等：
，如果不等的话就用一个对角矩阵
分别估计出每个水平的方差，这就是对效应的结构化。这样就解决了ANOVA的第3条限制。
哪些软件能拟合线性模型？图2里有。
如发现问题欢迎指正！
参考：许世忠教授的讲义。
